1 . 凡奥贝尔定理是数学中的一个重要定理，凡·奥贝尔（）是19世纪的一位德国数学家和工程师，他在数学和工程领域做出了多项贡献．其中，他提出了一个关于四边形和正方形的定理，即凡·奥贝尔定理．该定理指出，在任意一个四边形中，如果在其边外侧构造一个正方形，并将相对的正方形的中心连起，那么这两条线段将相等且互相垂直．如图1，以四边形的边为边向外作四个正方形，四边形，四边形，四边形，四边形，与相交于点R，与相交于点N，其中心分别为，连接相交于点P，证明：．
证明过程如下：
连接，取的中点M，连接，
四边形，四边形是正方形



在和中



在和中


为的中点，M为的中点
（依据①）
同理

同理可得：____________________

，

……

(1)补全材料：同理可得：__________
(2)按照上面的思路，完成该定理的证明的剩余部分
(3)已知，分别，，为边向外作正方形，，，点分别是正方形，，的对角线交点，连接其中，则四边形的面积为__________．

4 . 【课本再现】“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的一条重要性质定理．如图1，在中，，点D是的中点．求证：．
下面是两位同学两种添加辅助线的方法：
小明：如图2，延长至点E，使，连接；
小华：如图3，取的中点E，连接；
（1）请你选择其中一位同学的方法完成证明，聪明的你也可以利用图1用其他方法完成证明．

【迁移应用】（2）如图4，中，是高，求证：B，C，D，E四点共圆．
【拓展提升】（3）如图5，在五边形中，，，F为的中点，求证：．