1 . 【综合与实践】
【探究】（1）小学我们就学过同底等高的两个三角形的面积相等，后来我们又学到等高的两个三角形的面积之比等于与高对应的底边长之比，如图（1），
的高
和
的高
相等，则
同样，同底的两个三角形，如果面积相等，也有类似的结论，若图形位置特殊，由此会产生一些新的结论，下面是小江同学探索的一个结论，请帮助小江完成证明．和
的面积相等，求证：
．
证明：分别过点
、点
作和底边
上的高线
，
．
【应用】（2）把图（3）的四边形
改成一个以
为一边的三角形，并保持面积不变，请画出图形，并简要说明理由．
【拓展】（3）用上述探究的结论和已经证明的结论，证明三角形的中位线定理．
已知：如图（4），______．
求证：______．
证明：
【探究】（1）小学我们就学过同底等高的两个三角形的面积相等，后来我们又学到等高的两个三角形的面积之比等于与高对应的底边长之比，如图（1），
的高和的高相等，则同样，同底的两个三角形，如果面积相等，也有类似的结论，若图形位置特殊，由此会产生一些新的结论，下面是小江同学探索的一个结论，请帮助小江完成证明．
和的面积相等，求证：．证明：分别过点
、点作和底边上的高线，．【应用】（2）把图（3）的四边形
改成一个以为一边的三角形，并保持面积不变，请画出图形，并简要说明理由．【拓展】（3）用上述探究的结论和已经证明的结论，证明三角形的中位线定理．
已知：如图（4），______．
求证：______．
证明：
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2 . 如图，在
中，
，
，
，点
在线段上（不与点B、C重合）将线段
绕点E顺时针旋转
得到线段
，当点
落在的中位线上时，则
的值为__________ ．
中，，，，点在线段上（不与点B、C重合）将线段绕点E顺时针旋转得到线段，当点落在的中位线上时，则的值为
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名校
3 . 如图，在平行四边形中，点在的延长线上，
．
的中点为
的中点为
，连接
．
为菱形；
(2)连接
，若
，
，求的长．
中，点在的延长线上，．的中点为的中点为，连接．
为菱形；(2)连接
，若，，求的长．
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4 . 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等腰直角三角形
的顶点A在格点上，
，以为直径的半圆与边的交点D在网格线上．
的值等于______________ ；
（2）若P为边
上的动点，当．
取得最小值时，请用无刻度 的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）______________ ．
的顶点A在格点上，，以为直径的半圆与边的交点D在网格线上．
的值等于（2）若P为边
上的动点，当．取得最小值时，请用
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5 . 如图，中，
于点，点是的中点，连接
，则下列结论不一定正确的是（ ）
中，于点，点是的中点，连接，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． | B． | C． | D． |
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|
198次组卷
|
3卷引用：2024年福建省龙岩市中考模拟数学试题
名校
6 . 如图，中，点D、E分别为
的中点，延长到点F，使得
，连接
．
是平行四边形．
(2)若为等边三角形，
，求
的面积．
中，点D、E分别为的中点，延长到点F，使得，连接．
是平行四边形．(2)若
为等边三角形，，求的面积．
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名校
7 . 依次连接菱形各边中点所得到的四边形是 ________ ．
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|
49次组卷
|
13卷引用：河南省新乡市卫辉市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题
河南省新乡市卫辉市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题辽宁省朝阳市建平县第二中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题陕西省西安市曲江第一中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题江苏省南通市海门区海门区六甲初级中学2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题黑龙江省大庆市肇源县五校联考2023-2024学年八年级下学期月考数学试题（已下线）第05讲 正方形（3个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2023-2024学年八年级数学下册同步学与练（人教版）广东省广州市育才教育集团2023~2024学年八年级下学期期中数学试题河南省洛阳市西工区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题河南省洛阳市洛龙区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题广东省江门市棠下初级中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题重庆市秀山县新星中学2023-2024学年八年级下学期数学期中试题广东省广州市南沙区广州外国语学校2020—2021学年八年级下学期期中数学试题黑龙江省大庆市龙凤区2022-2023学年八年级下学期期中数学试题
8 . 综合与实践
问题情境：在数学活动课上，老师对某道习题进行改编：如图1，中，
，
，作的边上的高
，将
绕点 逆时针旋转
得到
．
（1）试判断
与
之间的数量关系，并说明理由．
猜想与证明：（2）如图2，连接，顺次连接
的中点G，H，I，得到
，判断的形状，并加以证明；
探索发现：（3）如图3，有同学发现
与
之间的数量关系是固定不变的，请直接写出与之间的数量关系．
问题情境：在数学活动课上，老师对某道习题进行改编：如图1，
中，，，作的边上的高，将绕点 逆时针旋转得到．（1）试判断
与之间的数量关系，并说明理由．猜想与证明：（2）如图2，连接
，顺次连接的中点G，H，I，得到，判断的形状，并加以证明；探索发现：（3）如图3，有同学发现
与之间的数量关系是固定不变的，请直接写出与之间的数量关系．
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9 . 已知和
都是等腰三角形，
，
，
，且
，连接
，且
，直线交直线于点F．与的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，依次取、的中点M、N，连接
、
，求证：
；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接
，若
，在将
绕点A旋转的过程中，请直接写出线段的最大值．
和都是等腰三角形，，，，且，连接，且，直线交直线于点F．
与的位置关系，并说明理由；(2)如图2，依次取
、的中点M、N，连接、，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，连接
，若，在将绕点A旋转的过程中，请直接写出线段的最大值．
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10 . 如图，在中，D、E两点分别是边
的中点，点F在的延长线上，使得四边形
是平行四边形的条件可以是（ ）
中，D、E两点分别是边的中点，点F在的延长线上，使得四边形是平行四边形的条件可以是（ ）
A． | B． | C． | D． |
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