3 . 问题提出：
我们知道菱形的面积不仅可以用底乘以高来求，而且知道菱形的面积等于对角线乘积的一半．那么我们日常生活中常见的风筝的形状即“筝形”是不是也可以用这种方法求面积呢？
如图1，四边形是我们常见的风筝的图案，其中对角线长为，长为，垂直平分，垂足为E，求：筝形的面积．

解析：由已知：

我们发现这个结论对于筝形依然成立．
类比探究：
满足什么条件的图形可以通过这种方法求面积呢？让我们先研究下面图形的面积：
如图2，四边形的对角线、互相垂直，其中对角线长为，长为，垂足为E，求四边形的面积．（请写出求解过程）
由此，我们可以得出一个结论：
结论1：对角线互相垂直的四边形的面积等于______________________．
拓展提高：
由上述的结论1给我们的启示：对于两条对角线不垂直的四边形的面积如何求解呢？下面让我们一起来研究
如图3所示四边形的对角线长为，点A到的距离与点C到的距离之和为，求四边形的面积．（请写出求解过程）
结论2：任意四边形的面积等于______________________．
问题解决：
（1）如图4，矩形中，，，，点G、H分别是、上任一点，则四边形的面积等于________．
（2）如图5，四边形放在了一组平行线中，已知，四边形的面积为，则两条平行线间的距离为_______．

4 . 模型探究：（1）如图1，在四边形中，，，于点E，若，求四边形的面积．
拓展应用：（2）如图2，在四边形ABCD中，，，于点E，若，，，求四边形的面积．
   

5 . [教材呈现]下面是华师版八年级下册数学教材第104页的部分内容．
如图，、是的两条直径，四边形是矩形吗？证明你的结论．

(1)[问题解决]如图①，、是的两条直径．求证：四边形是矩形．
[发现结论]矩形的四个顶点都在以该矩形对角线的交点为圆心，对角线的长为直径的圆上．
(2)[结论应用]如图②，已知线段，以线段为对角线构成矩形，矩形面积的最大值为 　 　．
(3)[拓展延伸]如图③，在矩形中，，，点、分别为边、的中点，以线段为对角线构造矩形，矩形的边与矩形的对角线交于、两点，当的长最长时，矩形的面积为 　 　．

6 . 【探索发现】
如图1，是一张直角三角形纸片，，小明想从中剪出一个以为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为______．
【拓展应用】
如图2，在中，，BC边上的高，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，求出矩形PQMN面积的最大值用含a、h的代数式表示；
【灵活应用】
如图3，有一块“缺角矩形”ABCDE，，，，，小明从中剪出了一个面积最大的矩形为所剪出矩形的内角，直接写出该矩形的面积．

9 . 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．

(1)根据定义判矩形
已知：如图1，在平行四边形中，是它的两条对角线，．求证：平行四边形是矩形．
(2)动手操作有发现
如图2，在矩形中，是的中点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点．猜想线段与有何数量关系?并证明你的结论．
(3)类比探究到一般
如图3，将(2)中的矩形改为平行四边形，其它条件不变，(2)中的结论是否仍然成立，请说明理由．
(4)解决问题巧应用
如图4，保持(2)中的条件不变，若点是的中点，且，请直接写出矩形的面积．