2 . 问题提出：

（1）如图1，在正方形中，，点E在边上．将沿折叠，使点B落在点处，连接，则的最小值为         ；
问题探究：
（2）如图2，在矩形中，，E为的中点，于点F，连接，过点F作的垂线交边于点G．求证：；
问题解决：
（3）如图3，某公园有一块形状为四边形的空地，管理人员规划修两条互相垂直的小路和（小路的宽度忽略不计，两条小路交于点G），并沿修建地下水管，为了节约成本，要使得最小．已测出．，管理人员的想法能否实现，若能，请求出的最小值，若不能，请说明理由．

4 . 小明在一次数学活动中，进行了如下的探究活动：如图，在矩形中，，，以点B为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点A、D、C的对应点分别为G、F、E．
       
(1)如图①，当点G落在边上时，求的长；
(2)如图②，当点G落在线段上时，与交于点H．
①求证：；
②求的长．
(3)记点K为矩形对角线的交点，连接，记面积为S，求S的取值范围（直接写出结果即可）．

5 . 如图，在矩形中，，，点在边上，，若点、分别为边与上两个动点，线段始终满足与垂直且垂足为，则的最小值为______．

6 . 如图，已知正方形的边长为a，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转到，连接，，则当之和取最小值时，的周长为______．（用含a的代数式表示）
   

7 . 如图，在矩形中，点为上一点，过点作于点，连接交于点，点恰好为的中点．
          
(1)求证：；
(2)如图1，若，求的值；
(3)如图2，在（2）的条件下，点G、Q分别为、上的动点，若，请直接写出的最小值．

8 . 如图1，将矩形放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上．若满足．

(1)求点A的坐标；
(2)取中点M，连接，与关于所在直线对称，连接并延长，交x轴于点P．
①求的长；
②如图2，点D位于线段上，且．点E为平面内一动点，满足，连接．请你求出线段长度的最大值．