1 . 如图，正方形
的边长为8，点
是边
的中点，点
是边
上一动点，连接
，将
沿翻折得到
，连接
．当最小时，
的长是______ ．
的边长为8，点是边的中点，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当最小时，的长是
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2 . 综合与实践
利用正方形纸片的折叠开展数学活动，探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法．
如图①，E 为正方形
的 
边上的一个动点，
，将正方形对折，使点
与 点
重合，点
与 点
重合，折痕为 
．
（1）将正方形展平后沿过点的直线
折叠，使点的对应点
落在上，折痕为 
， 连接 
， 如图②，请根据以上条件填空．
①点在以点 为圆心， 的长为半径的圆上（填线段）；
②
的长为 ；
拓展延伸
（2）当
时，正方形 沿过点的直线
（不过点）折叠后，点的对应点落在正方形 的内部或边上．
① 求
面积的最大值；
② 连 接
，
为
的中点，点
在上，连接
求
的最小值．
利用正方形纸片的折叠开展数学活动，探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法．
如图①，E 为正方形
的 边上的一个动点，，将正方形对折，使点与 点重合，点与 点重合，折痕为 ．
（1）将正方形
展平后沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕为 ， 连接 ， 如图②，请根据以上条件填空．①点
在以点 为圆心， 的长为半径的圆上（填线段）；②
的长为 ；拓展延伸
（2）当
时，正方形 沿过点的直线（不过点）折叠后，点的对应点落在正方形 的内部或边上．① 求
面积的最大值；② 连 接
，为的中点，点 在上，连接求的最小值．
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3 . 如图①，
和
都是等腰直角三角形，
，当点在线段
上，点在线段上时，我们很容易得到
，不需证明．绕点逆时针旋转
，连接
和
，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由；
(2)如图③，当绕点逆时针旋转，使得点恰好落在的延长线上，连接．若
，
，求线段
的长；
(3)若为中点，连接
，
，
，当绕点逆时针旋转时，最大值为
，最小值为
，则
的值为______．
和都是等腰直角三角形，，当点在线段上，点在线段上时，我们很容易得到，不需证明．
绕点逆时针旋转，连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由；(2)如图③，当
绕点逆时针旋转，使得点恰好落在的延长线上，连接．若，，求线段的长；(3)若
为中点，连接，，，当绕点逆时针旋转时，最大值为，最小值为，则的值为______．
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名校
4 . 问题提出是半径为
的
上一点，直线是外一条直线，
于点，圆心
到直线的距离为
，则线段
的最小值为________；
问题探究
(2)如图②，是正方形内一点，且
，若
，求
的最小值；
问题解决
(3)随着社会发展，农业观光园走进了我们的生活，某农业观光园的平面示意图如图③所示的四边形，其中
，
，
千米，
千米，观光园的设计者想在园中找一点，使得点与点、、、所连接的线段将整个观光园分成四个区域，用来进行不同的设计与规划，从实用和美观的角度他们还要求在
的区域内
，且
区域的面积最小，试问在四边形内是否存在这样的点，使得，且的面积最小？若存在，请你在图中画出点的位置，并求出的最小面积；若不存在，请说明理由．
是半径为的上一点，直线是外一条直线，于点，圆心到直线的距离为，则线段的最小值为________；问题探究
(2)如图②，
是正方形内一点，且，若，求的最小值；问题解决
(3)随着社会发展，农业观光园走进了我们的生活，某农业观光园的平面示意图如图③所示的四边形
，其中，，千米，千米，观光园的设计者想在园中找一点，使得点与点、、、所连接的线段将整个观光园分成四个区域，用来进行不同的设计与规划，从实用和美观的角度他们还要求在的区域内，且区域的面积最小，试问在四边形内是否存在这样的点，使得，且的面积最小？若存在，请你在图中画出点的位置，并求出的最小面积；若不存在，请说明理由．
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5 . 如图，在中，
，
，为边上任意一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转
，得到线段，
为边
的中点，连接
，，．如图1，交于点，若
，
，线段
的长度是______ ；
为的中点，连接
，
，
，点
为直线上一动点（不与点，重合），连接
，将
沿翻折至所在平面内，得到
，连接
，若
，当取得最小值时，线段的长度的最小值是______ ．
中，，，为边上任意一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转，得到线段，为边的中点，连接，，．如图1，交于点，若，，线段的长度是为的中点，连接，，，点为直线上一动点（不与点，重合），连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，若，当取得最小值时，线段的长度的最小值是
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名校
6 . 如图，在
中，
，
，
，点是的中点，点是边
上一动点，沿 所在直线把
翻折到
的位置，
交于点，连接．的最小值是________ ；
（2）若
为直角三角形，则的长为________ ．
中，，，，点是的中点，点是边上一动点，沿 所在直线把翻折到的位置，交于点，连接．
的最小值是（2）若
为直角三角形，则的长为
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7 . 如图1，在正方形中，点E在上（不与点B，C重合），点F在边上，
，连接
交于点M．
；
(2)如图2，连接与交于点G，连接
交于点H．
①求证：
；
②当
时，求
的值；
(3)如图3，若E是的中点，以点B为圆心，
为半径作
，P是上的一个动点，连接
交于点N，则
的最大值为 ．
中，点E在上（不与点B，C重合），点F在边上，，连接交于点M．
；(2)如图2，连接
与交于点G，连接交于点H．①求证：
；②当
时，求的值；(3)如图3，若E是
的中点，以点B为圆心，为半径作，P是上的一个动点，连接交于点N，则的最大值为 ．
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2024-06-02更新
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202次组卷
|
2卷引用：2024年浙江省台州市路桥区中考数学二模试题
8 . 如图，在正方形中，
，以为直径作半圆O，点P为半圆上一点，连接并延长交
于点E， 连接并延长交于点F， 连接
．
(2)求的最小值；
(3)若
求的长．
中，，以为直径作半圆O，点P为半圆上一点，连接并延长交于点E， 连接并延长交于点F， 连接．
(2)求
的最小值；(3)若
求的长．
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9 . 【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，
是的半径，
．点P在上，将点P沿的方向平移到点Q，使
．当点P在上运动一周时，试探究点Q的运动路径．
【问题解决】经过讨论，小组同学想利用平行四边形的知识解决该问题：如图②，在线段上截取
，连结
、
，由平行四边形的性质可推出点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆．下面是部分证明过程：
证明：在线段上截取，连接、．
1°当点P在直线外时，
2°当点P在直线上时，
易知
．
综上，点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆．
请你补全证明中缺失的过程．
【结论应用】在上述问题的条件下，记点M是线段的中点，如图②．若点P在上运动一周，则点M的运动路径长为 ．
【拓展提升】如图③，在矩形中，
，
．点P是平面内一点，
，将点P沿的方向平移到点Q，使
．点M是线段上的任意一点，连结．设线段长度的最大值为a，最小值为b，则
．
是的半径，．点P在上，将点P沿的方向平移到点Q，使．当点P在上运动一周时，试探究点Q的运动路径．【问题解决】经过讨论，小组同学想利用平行四边形的知识解决该问题：如图②，在线段
上截取，连结、，由平行四边形的性质可推出点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆．下面是部分证明过程：证明：在线段
上截取，连接、．1°当点P在直线
外时，| 证明过程缺失 |
上时，易知
．综上，点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆．
请你补全证明中缺失的过程．
【结论应用】在上述问题的条件下，记点M是线段
的中点，如图②．若点P在上运动一周，则点M的运动路径长为 ．【拓展提升】如图③，在矩形
中，，．点P是平面内一点，，将点P沿的方向平移到点Q，使．点M是线段上的任意一点，连结．设线段长度的最大值为a，最小值为b，则 ．
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名校
10 . 已知：
中，
，点为
边上一动点，连接
，将绕着点逆时针方向旋转与
相等的度数得到
，连接．
，
时，求的长：
(2)如图2，当
时，连接
，再将线段绕点逆时针方向旋转
得到
，连接
．求证：
；
(3)如图3，当，
时，点是平面内任意一点，将
沿直线
翻折得到
，点的对应点为点，点是边上另一动点，当
最小值时，直接写出
的最小值．
中，，点为边上一动点，连接，将绕着点逆时针方向旋转与相等的度数得到，连接． 
，时，求的长：(2)如图2，当
时，连接，再将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接．求证：；(3)如图3，当
，时，点是平面内任意一点，将沿直线翻折得到，点的对应点为点，点是边上另一动点，当最小值时，直接写出的最小值．
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