2 . 如图1，在正方形中，点E在上（不与点B，C重合），点F在边上，，连接交于点M．

(1)求证：；
(2)如图2，连接与交于点G，连接交于点H．
①求证：；
②当时，求的值；
(3)如图3，若E是的中点，以点B为圆心，为半径作，P是上的一个动点，连接交于点N，则的最大值为            ．

4 . 【课本再现】
（1）如图1，四边形是一个正方形，E是延长线上一点，且，则的度数为           ．
【变式探究】
（2）如图2，将（1）中的沿折叠，得到，延长交于点F，若，求的长．
【延伸拓展】
（3）如图3，当（2）中的点E在射线上运动时，连接，与交于点P．探究：当的长为多少时，D，P两点间的距离最短？请求出最短距离．

5 . 小兴同学在母亲节来临之际，为妈妈购买了如图1所示的台式桌面化妆镜，由镜面与底座组成，镜面可绕两固定点转动．如图2是将其放置在水平桌面上的正面示意图，镜面为圆形，底座上的固定点A，B所在直线经过镜面的圆心O，如图3是其侧面示意图．现测得底座最高点A到桌面高为，C为镜面上的最高点，且直径（边框视为镜面的一部分）为．

   

(1)在镜面转动的过程中，求镜面上的点D到桌面的最短距离（即图3中的长）．
(2)如图4小兴妈妈通过转动镜面，测得，求此时镜面上的点D到桌面的距离．（精确到，参考数据：，，）

6 . 【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，是的半径，．点P在上，将点P沿的方向平移到点Q，使．当点P在上运动一周时，试探究点Q的运动路径．
【问题解决】经过讨论，小组同学想利用平行四边形的知识解决该问题：如图②，在线段上截取，连结、，由平行四边形的性质可推出点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆．下面是部分证明过程：
证明：在线段上截取，连接、．
1°当点P在直线外时，

证明过程缺失

2°当点P在直线上时，
易知．
综上，点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆．
请你补全证明中缺失的过程．
【结论应用】在上述问题的条件下，记点M是线段的中点，如图②．若点P在上运动一周，则点M的运动路径长为　　　　．
【拓展提升】如图③，在矩形中，，．点P是平面内一点，，将点P沿的方向平移到点Q，使．点M是线段上的任意一点，连结．设线段长度的最大值为a，最小值为b，则　　　　．

9 . 在综合实践课上，老师组织同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动．下面是同学们进行相关问题的研究．如图①，已知是等腰直角三角形，，点D是的中点．作正方形，使点A，C分别在和上，连接，．

   

(1)将正方形绕点D逆时针方向旋转一定角度（旋转角度大于，小于或等于），如图②，在旋转的过程中，虽然图形发生了变化，但有些线段的数量关系和位置关系始终不会发生变化．
①猜想和的关系为              ，证明你得到的结论；
②猜想               ；（填图中线段）
(2)若，，（1）的旋转过程中，的取值范围为             ；当时，              ．