1 . （1）如图，是的直径，与交于点F，点E在上，连接、，      ，求证：      ；从①与相切；②中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论（填写序号），并完成证明过程；
（2）在（1）的前提下，若，，求的长．

2 . 【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容．

例2如图，在中，，是斜边上的中线．求证：． 证明：延长至点E，使，连结、．

   
(1)请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．
(2)【应用】如图②，直角三角形纸片中，，点D是边上的中点，连结，将沿折叠，点A落在点E处，此时恰好有．若，那么　              　．
(3)【拓展】如图③，在等腰直角三角形中，，D是边中点，E，F分别是边上的动点，且，当点E从点A运动到点C时，的中点M所经过的路径长是多少？

4 . 新定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．如图1，在四边形中，，，则四边形是一个等补四边形．

(1)在数学活动课上，怡怡小组对等补四边形进一步探究，发现平分．怡怡小组提供的解题思路是：如图2，过点分别作于，交的延长线于，通过证明，得，再根据“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”得到平分．请你写出怡怡小组的完整证明过程；
(2)如图3，在平面直角坐标系中，点、在轴上，以为直径的⊙M交轴于点、，点为弧上一动点（不与、重合）．
①求证：四边形始终是一个等补四边形；
②在图3中，若，，连接，，的值是否会随着点的移动而变化？若不变化，请求出该定值；若变化，请说明理由．

5 . 和的顶点重合，，，，．

　　　　　　　　　

(1)特例发现：如图1，当点，分别在，上时，可以得出结论：________，直线与直线的位置关系是________．
(2)探究证明：如图2，将图1中的绕点顺时针旋转，使点恰好落在线段上，连接，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请证明：若不成立，请说明理由；
(3)拓展运用：如图3，将图1中的绕点顺时针旋转，点在的外部，连接、，当时，请你利用第（2）题的结论，求的值．

8 . 和均为等边三角形，O分别为和的中点，连接，，．
   
(1)【特例发现】如图1，当点D，点E与点F分别在上时，可以得出结论：______；直线与直线的位置关系是______．
(2)【探究证明】如图2，将图1中的绕点O顺时针旋转，使点D恰好落在线段上，连接．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3)【拓展运用】如图3，将图1中的绕点O顺时针旋转，连接，它们的延长线交于点H，当时：
①连接，判断四边形的形状，并给予证明；
②直接写出的值．

9 . 如图所示：、分别与圆O交于A、B、C、D四点，连接、，

(1)证明：
(2)若，，，求的长.

10 . 如图，△ABC与⊙O交于D，E两点，AB是直径且长为12，OD∥BC．
（1）若∠B=40°，求∠A的度数；
（2）证明：CD=DE；
（3）若AD=4，求CE的长度．