名校
1 . 【阅读材料】
请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题．
【基础应用】已知
中，
，点
在边
上，点
在边
的延长线上，连接
交
于点
．
(1)如图1，若
，
，求证：点是的中点；
(2)如图2，若
，
，探究
与
之间的数量关系；
【灵活应用】如图3，是半圆
的直径，点
是半圆上一点，点是上一点，点在延长线上，
，
，
，当点从点
运动到点
，点运动的路径长为______，
扫过的面积为______．
教材习题 | 如图，、相交于点，是中点， ，求证：是中点． | |
问题分析 | 由条件易证 ，从而得到 ，即点是的中点 | |
方法提取 | 构造“平行 字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种常用方法 | |
请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题．
【基础应用】已知
中，，点在边上，点在边的延长线上，连接交于点．(1)如图1，若
，，求证：点是的中点；(2)如图2，若
，，探究与之间的数量关系；【灵活应用】如图3，
是半圆的直径，点是半圆上一点，点是上一点，点在延长线上，，，，当点从点运动到点，点运动的路径长为______，扫过的面积为______．
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2023-06-16更新
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499次组卷
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5卷引用：2023年江苏省扬州中学教育集团树人学校中考二模数学试题
真题
名校
2 . （1）如图，是
的直径，与交于点F，弦
平分
，点E在上，连接
、
，________．求证：________．与相切；②
中选择一个 作为已知条件，余下的一个 作为结论，将题目补充完整（填写序号 ），并完成证明过程．
（2）在（1）的前提下，若
，
，求阴影部分的面积．
是的直径，与交于点F，弦平分，点E在上，连接、，________．求证：________．
与相切；②中（2）在（1）的前提下，若
，，求阴影部分的面积．
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2023-08-01更新
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1127次组卷
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8卷引用：2023年江苏省宿迁市中考数学真题
2023年江苏省宿迁市中考数学真题福建省福州华侨中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（已下线）第3讲 证明题2024年山东省庆云县中考第一次练兵考试数学模拟试题（已下线）突破01 与三角形、四边形、圆有关的计算与证明（含图形变化，3类重点考向）-备战2024年中考数学真题题源解密（全国通用）2024年江西省抚州市临川区中考一模数学试题（已下线）热点08+圆（13大题型+满分技巧+限时分层检测01）-2024年中考数学【热点·重点·难点】专练（江苏专用）（已下线）查补重难点07 圆的相关计算与证明-【查漏补缺】2024年中考数学复习冲刺过关（江苏专用）
2024·江苏盐城·模拟预测
3 . （1）问题研究：如图1，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，点B在网格线上．以为直径的半圆的圆心为O，在圆上找一点E使
平分
，请用无刻度的直尺作图；
（2）尝试应用：如图2，是的直径，是切线，
，交于P点．请用无刻度直尺作出的中点D；
（3）问题解决：请在（2）尝试应用的条件下，解决以下问题：
①连接
，判断与的位置关系并证明；
②若
，求，与围成的图形面积．
的顶点A，点B在网格线上．以为直径的半圆的圆心为O，在圆上找一点E使平分，请用无刻度的直尺作图；（2）尝试应用：如图2，
是的直径，是切线，，交于P点．请用无刻度直尺作出的中点D；（3）问题解决：请在（2）尝试应用的条件下，解决以下问题：
①连接
，判断与的位置关系并证明；②若
，求，与围成的图形面积．
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名校
4 . 如图，点在的直径的延长线上，点在上，连接、．
(1)给出下列信息：①；②
；③与相切．
请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，第三个作为结论，组成一个正确的命题并作出证明 ．你选择的条件是_______________，结论是________________（填写序号，只需写出你认为正确的一种情形 ）．
(2)在（1）的条件下，若，求图中阴影部分的面积．
在的直径的延长线上，点在上，连接、．(1)给出下列信息：①
；②；③与相切．请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，第三个作为结论，组成一个正确的命题
(2)在（1）的条件下，若
，求图中阴影部分的面积．
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2023-01-20更新
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277次组卷
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4卷引用：江苏省泰州市泰兴市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题
江苏省泰州市泰兴市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（已下线）专题2.34 弧长及扇形的面积（分层练习）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）江苏省泰州市姜堰区实验初级中学2023-2024学年九年级上学期数学独立作业二（已下线）专题24.33 弧长和扇形的面积（分层练习）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）
2021·贵州遵义·中考真题
真题
名校
5 . 在复习菱形的判定方法时，某同学进行了画图探究，其作法和图形如下：
①画线段AB；
②分别以点A，B为圆心，大于AB长的一半为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN交AB于点O；
③在直线MN上取一点C（不与点O重合），连接AC、BC；
④过点A作平行于BC的直线AD，交直线MN于点D，连接BD．
（1）根据以上作法，证明四边形ADBC是菱形；
（2）该同学在图形上继续探究，他以点O为圆心作四边形ADBC的内切圆，构成如图所示的阴影部分，若AB＝2
，∠BAD＝30°，求图中阴影部分的面积．
①画线段AB；
②分别以点A，B为圆心，大于AB长的一半为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN交AB于点O；
③在直线MN上取一点C（不与点O重合），连接AC、BC；
④过点A作平行于BC的直线AD，交直线MN于点D，连接BD．
（1）根据以上作法，证明四边形ADBC是菱形；
（2）该同学在图形上继续探究，他以点O为圆心作四边形ADBC的内切圆，构成如图所示的阴影部分，若AB＝2
，∠BAD＝30°，求图中阴影部分的面积．
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2021-07-27更新
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798次组卷
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4卷引用：沪科版2021-2022学年九年级数学上册第23章 解直角三角形专题11 锐角三角函数（强化-基础）
（已下线）沪科版2021-2022学年九年级数学上册第23章 解直角三角形专题11 锐角三角函数（强化-基础）贵州省遵义市2021年中考数学真题试卷（已下线）贵州省遵义市2021年中考数学真题变式汇编5广东省深圳福田红岭中学石厦初中2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试题
6 . 文艺复兴时期，意大利艺术大师达．芬奇研究过用圆弧围成的部分图形的面积问题．已知正方形的边长是2，就能求出图中阴影部分的面积．
证明：S矩形ABCD=S1+S2+S3=2，S4= ，S5= ，S6= + ，S阴影=S1+S6=S1+S2+S3= ．
证明：S矩形ABCD=S1+S2+S3=2，S4= ，S5= ，S6= + ，S阴影=S1+S6=S1+S2+S3= ．
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2018-09-03更新
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269次组卷
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5卷引用：2018年秋人教版九年级上册数学 第24章 圆 单元测试卷
2018年秋人教版九年级上册数学 第24章 圆 单元测试卷【区级联考】北京市燕山区2019届九年级中考一模数学试题2018年北京市燕山区中考数学一模试卷（已下线）专题14 图形的性质之解答题（3）《备战2020年中考真题分类汇编》（北京）安徽省首年地区2019-2020学中考第一次模拟预测数学试题
7 . 如图，
是
的直径，延长弦
到点，使
，连接
，过点作
，垂足为．
（1）判断直线
与的位置关系，并证明你的结论；
（2）若的半径为
，
，延长
交延长线于点，求阴影部分的面积．
是的直径，延长弦到点，使，连接，过点作，垂足为．（1）判断直线
与的位置关系，并证明你的结论；（2）若
的半径为，，延长交延长线于点，求阴影部分的面积．
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2018-12-19更新
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1032次组卷
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2卷引用：北师大版九年级数学下册_第三章_圆_单元测试卷
8 . 如图,⊙O 的半径为１,直线CD 经过圆心O,交⊙O 于C、D 两点,直径AB⊥CD,点 M 是直线CD 上异于点C、O、D 的一个动点,AM 所在的直线交⊙O 于点N,点 P 是直线CD 上另一点,且PM＝PN．
(1)当点 M 在⊙O 内部,如图①,试判断 PN 与⊙O 的关系,并写出证明过程;
(2)当点 M 在⊙O 外部,如图②,其他条件不变时,(1)的结论是否还成立? 请说明理由;
(3)当点 M 在⊙O 外部,如图③,∠AMO＝15°,求图中阴影部分的面积．
(1)当点 M 在⊙O 内部,如图①,试判断 PN 与⊙O 的关系,并写出证明过程;
(2)当点 M 在⊙O 外部,如图②,其他条件不变时,(1)的结论是否还成立? 请说明理由;
(3)当点 M 在⊙O 外部,如图③,∠AMO＝15°,求图中阴影部分的面积．
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2017-12-04更新
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819次组卷
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4卷引用：人教版九年级数学（上）第24章《圆》检测题
名校
9 . 如图，△ABC中，⊙O经过A、B两点，且交AC于点D，连接BD，∠DBC＝∠BAC．
（1）证明BC与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为6，∠BAC＝30°，求图中阴影部分的面积．
（1）证明BC与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为6，∠BAC＝30°，求图中阴影部分的面积．
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2018-11-29更新
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506次组卷
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6卷引用：南京外国语学校2019届九年级第一学期期中数学试卷
2024九年级下·全国·专题练习
10 . 如图，为的直径，为上一点，
的平分线交于点，过点作
交的延长线于点，延长
与的延长线交于
点．．为的切线；
(2)若
，
，求阴影部分的面积．
为的直径，为上一点，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，延长与的延长线交于点．．
为的切线；(2)若
，，求阴影部分的面积．
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