1 . 如图，在圆心角为的扇形中，半径，点C、D分别是半径、的中点，将沿对折，点O落在P处，E为上一点．

(1)若______，求证：______；（把“D、P、E在一直线上”，“”分别填入两条横线中，将题目补充完整，并完成证明）
(2)在（1）的条件下，求图中阴影部分的面积．

2 . 【阅读材料】

教材习题	如图，、相交于点，是中点，，求证：是中点．
问题分析	由条件易证，从而得到，即点是的中点
方法提取	构造“平行字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种常用方法

   
请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题．
【基础应用】已知中，，点在边上，点在边的延长线上，连接交于点．
(1)如图1，若，，求证：点是的中点；
(2)如图2，若，，探究与之间的数量关系；
【灵活应用】如图3，是半圆的直径，点是半圆上一点，点是上一点，点在延长线上，，，，当点从点运动到点，点运动的路径长为______，扫过的面积为______．

3 . （1）如图，是的直径，与交于点F，弦平分，点E在上，连接、，________．求证：________．

   

从①与相切；②中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整（填写序号），并完成证明过程．
（2）在（1）的前提下，若，，求阴影部分的面积．

4 . 如图，已知在△ABC中，BC＝AC，以BC为直径的⊙O与边AB、AC分别交于点D、E，DF⊥AC于点F．
（1）求证：点D是AB的中点；
（2）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（3）若⊙O的半径为10，，求阴影部分面积．

5 . 如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC相切于点D，与AC相交于点E，与AB相交于点F，连接AD．

（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若点E为的中点，探究线段BD，CD之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若点E为的中点，CD＝，求与线段BD，BF所围成的阴影部分的面积．

6 . （1）问题研究：如图1，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，点B在网格线上．以为直径的半圆的圆心为O，在圆上找一点E使平分，请用无刻度的直尺作图；
（2）尝试应用：如图2，是的直径，是切线，，交于P点．请用无刻度直尺作出的中点D；
（3）问题解决：请在（2）尝试应用的条件下，解决以下问题：
①连接，判断与的位置关系并证明；
②若，求，与围成的图形面积．

   

7 . 如图，是的直径，射线交于点D，点E是劣弧的中点，连接，，，过点E作于点F，延长交的延长线交于点G．

(1)证明：是的切线；
(2)若，，求的半径；
(3)在（2）的基础上，求图中阴影部分的面积．

8 . 如图，已知是直径，且，C，D是上的点，，交于点E，连接， ，过点D作射线交延长线于点F．

(1)求图中阴影部分的面积（结果保留π）；
(2)若，试证明是的切线．

9 . 如图，已知是的直径，C点是的一点，于E，点D是的中点，交于点F，交于点G．

(1)判断的形状，并证明；
(2)若，．
①求的长；
②求阴影部分的面积．

10 . 如图，是的直径，是的切线，交于点．

(1)如图1，作的角平分线，交于点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）．
(2)如图2，在（1）的条件下，若，求阴影部分的面积．