1 . 【阅读材料】

教材习题	如图，、相交于点，是中点，，求证：是中点．
问题分析	由条件易证，从而得到，即点是的中点
方法提取	构造“平行字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种常用方法

   
请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题．
【基础应用】已知中，，点在边上，点在边的延长线上，连接交于点．
(1)如图1，若，，求证：点是的中点；
(2)如图2，若，，探究与之间的数量关系；
【灵活应用】如图3，是半圆的直径，点是半圆上一点，点是上一点，点在延长线上，，，，当点从点运动到点，点运动的路径长为______，扫过的面积为______．

2 . 如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC相切于点D，与AC相交于点E，与AB相交于点F，连接AD．

（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若点E为的中点，探究线段BD，CD之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若点E为的中点，CD＝，求与线段BD，BF所围成的阴影部分的面积．

3 . （1）问题研究：如图1，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，点B在网格线上．以为直径的半圆的圆心为O，在圆上找一点E使平分，请用无刻度的直尺作图；
（2）尝试应用：如图2，是的直径，是切线，，交于P点．请用无刻度直尺作出的中点D；
（3）问题解决：请在（2）尝试应用的条件下，解决以下问题：
①连接，判断与的位置关系并证明；
②若，求，与围成的图形面积．

   

4 . (1)问题研究：如图1，在每个小正方形的边长为的网格中，的顶点，均落在格点上，点在网格线上．以为直径的半圆的圆心为，在圆上找一点，使平分请用无刻度的直尺作图；
(2)尝试应用：如图，是的直径，是切线，，交于点．
请用无刻度直尺作出的中点；
(3)问题解决：请在(2) 尝试应用的条件下，解决以下问题：
①连接，判断与的位置关系并证明；
②若，求，与围成的图形面积．

5 . 如图，是的直径，是半圆上的一点，平分，垂足为，交于，连接．
   
(1)判断与的位置关系，并证明你的结论；
(2)若，求的长；
(3)若是弧的中点，的半径为5，求图中阴影部分的面积．

6 . （1）如图1，已知正方形的边长为4．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿、方向向终点C和D运动．连接和，交于点P．
   
①猜想与的位置关系，并证明你的结论．
②求运动过程中，线段扫过的面积．
（2）如图2，已知菱形的对角线为，．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿、向终点C和A运动．连接和，交于点P．求周长的最大值．
   

7 . 在数学活动课中，数学学习小组对课本习题进行探究．
已知：和外一点．你能用尺规过点作的切线．
   
小明的作法：
①连接，如图；
②分别以和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；
③作，交于点；
④以点为圆心，的长为半径作圆，交于，两点；
⑤作直线，．直线，即为的切线．
(1)请结合上述作图步骤，证明小明所作的直线为的切线．
(2)已知，如图3，连接，，交于点，连接，．

   
①当_______时，四边形是正方形；
②若，求阴影部分的面积．

9 . 如图，⊙O的半径为2，直线CD经过圆心O，交⊙O于C，D两点，直径AB⊥CD，点M是直线CD上异于点C，O，D的一个动点，AM所在的直线交于⊙O于点N，点P是直线CD上另一点，且PM＝PN．
（1）当点M在⊙O内部时，如图一，试判断PN与⊙O的关系，并写出证明过程；
（2）当点M在⊙O外部时，如图二，其它条件不变时，（1）的结论是否还成立？请说明理由；
（3）当点M在⊙O外部时，如图三，∠AMO＝15°，求图中阴影部分的面积．

10 . 已知为锐角的高，为中点，于点，延长至，使得．
（1）证明：；
（2）证明：；
（3）若，求四边形的面积．