1 . 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，点D为弧ACB的中点，过点D的切线与BC的延长线交于点E．
（1）用尺规作图作出圆心O；（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：DE⊥BC；
（3）若OC=2CE=4，求图中阴影部分面积．
（1）用尺规作图作出圆心O；（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：DE⊥BC；
（3）若OC=2CE=4，求图中阴影部分面积．
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2020-06-15更新
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366次组卷
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3卷引用：2020年安徽省砀山县九年级质量调研数学试题
2 . 在平面内，将小棒
经过适当的运动，使它调转方向(调转前后的小棒不一定在同一条直线上)，那么小棒扫过区域的面积如何尽可能地小呢？
已知小棒长度为4，宽度不计．
方案1：将小棒绕中点O旋转180°到
，设小棒扫过区域的面积为
(即图中灰色区域的面积，下同)；
方案2：将小棒先绕A逆时针旋转60°到
，再绕C逆时针旋转60°到
，最后绕B逆时针旋转60°到，设小棒扫过区域的面积为
．
(1)①
______，
______；(结果保留
)
②比较与的大小．(参考数据：
，
．)
(2)方案2可优化为方案3：首次旋转后，将小棒先沿着小棒所在的直线平移再分别进行第2、3次旋转，三次旋转扫过的面积会重叠更多，最终小棒扫过的区域是一个等边三角形．
①补全方案3的示意图；
②设方案3中小棒扫过区域的面积为
，求．
(3)设计方案4，使小棒扫过区域的面积
小于，画出示意图并说明理由．
经过适当的运动，使它调转方向(调转前后的小棒不一定在同一条直线上)，那么小棒扫过区域的面积如何尽可能地小呢？已知小棒长度为4，宽度不计．
方案1：将小棒绕
中点O旋转180°到，设小棒扫过区域的面积为(即图中灰色区域的面积，下同)；方案2：将小棒先绕A逆时针旋转60°到
，再绕C逆时针旋转60°到，最后绕B逆时针旋转60°到，设小棒扫过区域的面积为． (1)①
______，______；(结果保留)②比较
与的大小．(参考数据：，．)(2)方案2可优化为方案3：首次旋转后，将小棒先沿着小棒所在的直线平移再分别进行第2、3次旋转，三次旋转扫过的面积会重叠更多，最终小棒扫过的区域是一个等边三角形．
①补全方案3的示意图；
②设方案3中小棒扫过区域的面积为
，求．(3)设计方案4，使小棒扫过区域的面积
小于，画出示意图并说明理由．
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3 . 德国数学家高斯在大学二年级时得出了正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件，下面是高斯正十七边形作法的一部分：已知是
的直径．分别以
，
为圆心、长为半径作弧，两弧交于点
，
两点．…若设长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
是的直径．分别以，为圆心、长为半径作弧，两弧交于点，两点．…若设长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． | B． | C． | D． |
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2021-02-18更新
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516次组卷
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8卷引用：山西省大同市浑源县2020-2021学年九年级上学期期末数学试题
山西省大同市浑源县2020-2021学年九年级上学期期末数学试题江苏省南通市启东市2021-2022学年九年级上学期期中数学试题（一模）（已下线）2022年四川省达州市中考数学真题变式题6-10题（已下线）专题24.10 求与圆有关的阴影部分的面积的技巧五大题型-2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列（人教版）（已下线）专题3.8 求与圆有关的阴影部分的面积的技巧五大题型-2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列（浙教版）（已下线）专题2.10 求与圆有关的阴影部分的面积的技巧五大题型-2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列（苏科版）山东省济宁市邹城市第八中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题2023年浙江省杭州市萧山区中考数学模拟预测题（二）
名校
4 . (1)问题研究：如图1，在每个小正方形的边长为
的网格中，
的顶点，均落在格点上，点在网格线上．以
为直径的半圆的圆心为
，在圆上找一点
，使
平分
请用无刻度的直尺作图；
(2)尝试应用：如图
，
是
的直径，
是切线，
，交于
点．
请用无刻度直尺作出的中点；
(3)问题解决：请在(2) 尝试应用的条件下，解决以下问题：
①连接
，判断与的位置关系并证明；
②若
，求，
与围成的图形面积．
的网格中，的顶点，均落在格点上，点在网格线上．以为直径的半圆的圆心为，在圆上找一点，使平分请用无刻度的直尺作图；(2)尝试应用：如图
，是的直径，是切线，，交于点．请用无刻度直尺作出
的中点；(3)问题解决：请在(2) 尝试应用的条件下，解决以下问题：
①连接
，判断与的位置关系并证明；②若
，求，与围成的图形面积．
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2024-04-17更新
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90次组卷
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2卷引用：2023年江苏省盐城市景山中学中考全真模拟数学模拟预测题
5 . （1）问题研究：如图1，在每个小正方形的边长为1的网格中，
的顶点A，点B在网格线上．以为直径的半圆的圆心为O，在圆上找一点E使
平分
，请用无刻度的直尺作图；
（2）尝试应用：如图2，是的直径，
是切线，
，交于P点．请用无刻度直尺作出的中点D；
（3）问题解决：请在（2）尝试应用的条件下，解决以下问题：
①连接
，判断与的位置关系并证明；
②若
，求，
与围成的图形面积．
的顶点A，点B在网格线上．以为直径的半圆的圆心为O，在圆上找一点E使平分，请用无刻度的直尺作图；（2）尝试应用：如图2，
是的直径，是切线，，交于P点．请用无刻度直尺作出的中点D；（3）问题解决：请在（2）尝试应用的条件下，解决以下问题：
①连接
，判断与的位置关系并证明；②若
，求，与围成的图形面积．
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6 . 在数学活动课中，数学学习小组对课本习题进行探究．
已知：和外一点．你能用尺规过点作的切线．
小明的作法：
①连接
，如图；
②分别以和点为圆心，大于
的长为半径作弧，两弧相交于
，
两点；
③作
，交于点；
④以点为圆心，
的长为半径作圆，交于，两点；
⑤作直线
，
．直线，即为的切线．
(1)请结合上述作图步骤，证明小明所作的直线为的切线．
(2)已知
，如图3，连接
，
，交于点，连接，
．
①当
_______时，四边形
是正方形；
②若
，求阴影部分的面积．
已知：
和外一点．你能用尺规过点作的切线． 小明的作法：
①连接
，如图；②分别以
和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；③作
，交于点；④以点
为圆心，的长为半径作圆，交于，两点；⑤作直线
，．直线，即为的切线．(1)请结合上述作图步骤，证明小明所作的直线为
的切线．(2)已知
，如图3，连接，，交于点，连接，． ①当
_______时，四边形是正方形；②若
，求阴影部分的面积．
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7 . 如图1，在△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AC=2．
（1）将△ABC绕点C顺时针旋转120°得△A′B′C．①求点B旋转经过的路径长；②求线段BB′的长；
（2）如图2，过点C作AC的垂线与AB的延长线交于点D，将△ACD绕点C顺时针旋转90°得△A′CD′．在图2中画出线段AD绕点C旋转所形成的图形（用阴影表示），并求出该图形的面积．
（1）将△ABC绕点C顺时针旋转120°得△A′B′C．①求点B旋转经过的路径长；②求线段BB′的长；
（2）如图2，过点C作AC的垂线与AB的延长线交于点D，将△ACD绕点C顺时针旋转90°得△A′CD′．在图2中画出线段AD绕点C旋转所形成的图形（用阴影表示），并求出该图形的面积．
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