1 . 在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动
【问题情境】
刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第页“探索”部分内容：
如图，将一个三角形纸板绕点逆时针旋转到达的位置，那么可以得到：，，；，，（       ）

   

刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键；故数学就是一门哲学．
【问题解决】
（1）上述问题情境中“（       ）”处应填理由：____________________；
（2）如图，小王将一个半径为，圆心角为的扇形纸板绕点逆时针旋转到达扇形纸板的位置．

   

①请在图中作出点；
②如果，则在旋转过程中，点经过的路径长为__________；
【问题拓展】
小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置，另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止，此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图所示，请你帮助小李解决这个问题．

   

2 . 【问题探究】
(1)如图1，在正方形中，点是边延长线上一点，，连接交于点，以点为圆心，为半径作．求证：是的切线；

(2)【知识迁移】如图2，在菱形中，点是边延长线上一点，，连接交于点，以点为圆心的与相切于点．
①若，则__________；
②若，，求阴影部分面积．

3 . 根据背景素材，探索解决问题

探究草坪喷灌系统的节水优化方案
项目 背景	小明和他的同学在操场上散步时，一不小心被草坪的喷灌系统的水喷到了，他们想，这个水是不是可以开小点？不仅不会喷到人，也节约水资源．但是，水开的小就不能保证整个草坪都喷到水……为了解决这个问题，他们展开了项目研究，查阅了大量文献资料，以及实地观察了学校的草坪喷灌系统的运作．
问题 解决	小明认为可以把此问题抽象为一个数学问题： 在边长为20米的正方形草坪上，如何设计喷头布局方案，使得节水效果最好？
任务一	（1）同学甲和乙马上设计了两种方案，如图1所示，你认为哪位同学设计的方案更节水？（为了方便研究同时结合文献资料，同学们将喷头的喷水面抽象为圆或者扇形，统一了节水评价标准为：阴影部分面积越小，越节水．）（       ） A．甲更节水                 B．乙更节水 C．一样节水                 D．无法比较
任务二	（2）小明认为他们的方案可以进一步优化，他设计了如图2所示的喷灌方案（以点D为圆心，长为半径作扇形，与正方形交于E，F两点，再以点B为圆心，长为半径作扇形，与边，的延长线交于点G，H），并认为此方案更节水．你认为呢？不妨令，当x取何值时，阴影部分面积最小？请说明理由，并求出该最小值．
任务三	（3）在小明设计的方案基础上，丙同学又进行了优化，他的方案如图3所示，先以点B为圆心，AB长为半径作扇形，交BD于点E，再以点D为圆心，DE长为半径作扇形，此时正方形草坪还有两处未被喷水面覆盖，于是再分别以点A，C为圆心，AE长为半径作扇形，得到如图3的方案图，则______；此时阴影部分面积为______．