1 . 如图1，已知四边形是矩形，，E，F是，边上的点，以直线为对称轴将矩形进行折叠，点A，B的对称点分别是G，H，点H落在边上，交于点P．

(1)如图2，当点H与点D重合时，连接，求证：四边形是菱形；
(2)当时，若，求的长；
(3)连接，若，求证：．

2 . 如图，在菱形中，，点E为线段上一个动点，边关于对称的线段为，连接．

(1)当平分时，的度数为_______．
(2)延长，交射线于点G，当时，求的长．
(3)连接，点H为线段上一动点（不与点A，C重合），且，求的最小值．

5 . 【问题提出】
（1）如图1，已知在平面直角坐标系中，点P为x轴正半轴上一动点，，，过点P作x轴的垂线交直线于点Q，当周长最小时，求点Q的坐标；
【问题解决】
（2）某实验室的设计平面图建立在平面直角坐标中如图2，已知坐标系中每个单位长度表示为1米，，，且满足，，现在将设计一个温度控制室，点M、N分别建立在y轴与x轴上，米，点P是温度传感收集设备且为线段的中点，线段与是两条线性传感器，由于传感器的价格昂贵，现在要满足设计要求的同时，使得最小，是否有满足条件的P，若有，求出点P坐标并说明理由，求出此时四边形的面积；若没有，请说明理由．

6 . 如图，菱形的边长是10，，交于点，点为直线上一点，点与点关于对称，为中点，连接、，则的最大值是______．

7 . 如图1，在中，，，动点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动．连接，作点关于的对称点，连接、，设点的运动时间为秒．
   
(1)如图2，当点与点重合时，与相交于点，求证：；
(2)当时，求的值，并求出点落在区域（含边界）内的时长；
(3)当所在直线垂直于的边时，求的值；
(4)当点运动停止后，平移使点落在中点，并绕点旋转使、分别与相交于点，（如图3）．若，请直接用含的式子表示的长．

8 . （1）如图，半径为的外有一点，且，点在上，则的最大值和最小值分别是______和______；
（2）如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连接、，求最小时的长；
（3）如图，在中，，，点到的距离为，动点、在边上运动，始终保持，在边上有一个直径为的半圆，连接与半圆交于点，连接、，求的最小值．

   

9 . 问题探究
（1）寒假期间，乐乐同学参观爸爸的工厂，看到半径分别为2和3的两个圆形零件、按如图所示的方式放置，点A到直线m的距离，点B到直线m的距离，，M是上一点，N是上一点，在直线m上找一点P，使得最小．请你在直线m上画出点P的位置，并直接写出的最小值．

问题解决
（2）如图，乐乐爸爸的工厂欲规划一块花园，如图所示的矩形，其中米，米，点E、F为花园的两个入口，米，米．若在区域内设计一个亭子G（亭子大小忽略不计），满足，从入口到亭子铺设两条景观路．已知铺设小路所用的景观石材每米的造价是400元，铺设小路所用的景观石材每米的造价是200元，你能否帮乐乐同学分析一下，是否存在点G，使铺设小路和的总造价最低？若存在，求出最低总造价，并求出此时亭子G到边的距离：若不存在，请说明理由．