1 . 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明精彩粉呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，，，请用a，b，c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：

(1)________，__________，___________，则它们满足的关系式为____________，经化简，可得到勾股定理．（提示：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半）
知识运用：
(2)如图2，铁路上A，B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C，D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为_________千米（直接填空）；
(3)在（2）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图3中作出P点的位置并求出的距离．
(4)知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式+的最小值__________（0＜x＜16）．

2 . 如图1，已知点A(-1，0)，B(0，-2)，C为双曲线上一点，连结AC与y轴交于点E，且E为AC的中点，其坐标为(0，2)．
（1）求k的值；
（2）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图2），点T是AF边上一动点，M是HT的中点，MN丄HT交AB于N，当T在AF上运动时，∠TNH的大小是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．

4 . 已知直线：与直线：都经过，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，为轴上任意一点，连接、，有以下说法：①方程组的解为②；③当的值最小时，点的坐标为．其中正确的说法是（       ）

A．①②

B．①③

C．②③

D．①②③

5 . 如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2．过点A作对角线BD的平行线与边CD的延长线相交于点E．P为边BD上的一个动点（不与端点B，D重合），连接PA，PE，AC．

（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）求四边形ABDE的周长和面积；
（3）记△ABP的周长和面积分别为C₁和S₁，△PDE的周长和面积分别为C₂和S₂，在点P的运动过程中，试探究下列两个式子的值或范围：①C₁+C₂，②S₁+S₂，如果是定值的，请直接写出这个定值；如果不是定值的，请直接写出它的取值范围．

6 . 如图，直线与y轴的交点为A，直线与直线的交点M的坐标为．
（1）求a和k的值；
（2）直接写出关于x的不等式的解集；
（3）若点B在x轴上，，直接写出点B的坐标．
   

9 . 已知点A（s，t）在反比例函数（k为常数，k≠0）的图象上．
（1）当s＝﹣1，t＝3时，则k＝　 　；
（2）当点A在第二象限时，将双曲线（x＜0）沿着y轴翻折，翻折后的曲线与原曲线记为曲线L，与过A点的直线y＝b（b＞0）交于点C，连接AO，过点O作AO的垂线与直线y＝b交于点B．

①如图（1），当时，求值；
②如图（2），若A（﹣1，），作直线x＝n（n＞0）交曲线L于G点，分别交射线AB，射线OB于点E，F，当时，直接写出n的取值范围．

10 . 阅读理解：阅读以下内容，完成后面任务：
材料一
“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事．如下即为其中较为经典的一则：古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学，物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图①，将军从A地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到B地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？

大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．
如图②，作点B关于直线的对称点，连接与直线交于点P，连接，则的和最小．
理由：如图③，在直线上另取任一点，连接，，，
∵直线是点B，的对称轴，点P，在上，
∴______，______，（依据1______）
∴______．
在中，∵，（依据2______），
∴，即最小．
材料二
说明代数式的几何意义，并求它的最小值．
解：
几何意义：如图④，建立平面直角坐标系，点是x轴上一点，则可以看成点P与点的距离，可以苔成点P与点的距离，所求代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值．

任务一
______，______，
依据1____________________________________
依据2______________________________________
任务二
利用图④中求出的最小值
任务三
求代数式的最小值．