1 . 在平面直角坐标系中，抛物线
与
轴交于
两点，点
在点
的左侧，直线
与抛物线
交于点
．两点的坐标；
(2)当
时，
，试说明：直线必过点；
(3)在（
）的条件下，如图，过点作
，垂足为
，
是线段
上的动点（点不与点
重合），点
，关于直线
对称，连接
，若线段的最小值为
，求抛物线
的解析式．
与轴交于两点，点在点的左侧，直线与抛物线交于点．
两点的坐标；(2)当
时，，试说明：直线必过点；(3)在（
）的条件下，如图，过点作，垂足为，是线段上的动点（点不与点重合），点，关于直线对称，连接，若线段的最小值为，求抛物线的解析式．
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2 . 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
（1）如图1，在正方形
中，点E，F分别是
，
上的两点，连接，
，
，则
的值为_____；
（2）如图2，在矩形中，
，
，点E是上的一点，连接
，
，且
，则
______．
【类比探究】
（3）如图3，在四边形中，
，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交
的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：
；
【拓展延伸】
（4）如图4，在
中，
，，
，将
沿翻折，点A落在点C处得
，点E，F分别在边，上，连接，，．求
①
的值；
②连接
，若
，求的值．
（1）如图1，在正方形
中，点E，F分别是，上的两点，连接，，，则的值为_____；（2）如图2，在矩形
中，，，点E是上的一点，连接，，且，则______．【类比探究】
（3）如图3，在四边形
中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：；【拓展延伸】
（4）如图4，在
中，，，，将沿翻折，点A落在点C处得，点E，F分别在边，上，连接，，．求①
的值；②连接
，若，求的值．
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3 . 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，
为对角线，线段的端点A、B在小正方形的顶点上．的同侧画一个以为腰的等腰直角三角形
，点E在小正方形的顶点上；
(2)点P在图中线段上，连接
，当
的值最小时，画出点P，并求出的最小值．（保留作图痕迹）
为对角线，线段的端点A、B在小正方形的顶点上．
的同侧画一个以为腰的等腰直角三角形，点E在小正方形的顶点上；(2)点P在图中线段
上，连接，当的值最小时，画出点P，并求出的最小值．（保留作图痕迹）
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4 . 尺规作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
(1)如图，已知直线
同侧有两点，，在直线上确定一点
，使得
；同侧有两点，，在直线上确定一点，使得
．
(1)如图，已知直线
同侧有两点，，在直线上确定一点，使得；
同侧有两点，，在直线上确定一点，使得．
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5 . 如图，已知函数
交x轴于点A，交y轴于点D，与反比例函数
的图象相交于B点，且
，所在直线
与AD关于y轴对称，交x轴于点E，点F是线段的中点，连接
，点G是直线上一动点，连接
，
．的解析式；
(2)求
的面积；
(3)直接写出当
时，对应的x的取值范围．
交x轴于点A，交y轴于点D，与反比例函数的图象相交于B点，且，所在直线与AD关于y轴对称，交x轴于点E，点F是线段的中点，连接，点G是直线上一动点，连接，．
的解析式；(2)求
的面积；(3)直接写出当
时，对应的x的取值范围．
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6 . 某数学小组用五个全等的菱形设计一个左右对称的无人机模型，下图所示的是该无人机模型的两种设计方案的俯视图，其中A，D，F，G四点始终在同一条直线上，图形关于直线
对称．
．
①
；
②判断
的形状，并证明．
(2)如图2，若菱形的边长为
，
，求点N到点 G的距离．
（结果精确到
．参考数据：
，
，
，
，
，
）
对称．
．①
；②判断
的形状，并证明．(2)如图2，若菱形的边长为
，，求点N到点 G的距离．（结果精确到
．参考数据：，，，，，）
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7 . 实践与探究：
在
中，
．设
，若要证明
，小明和小红两个同学分别做了以下尝试：
小明的思路
小红的思路
(1)请你用尺规作图方法，帮小红画出折痕所在的直线，保留作图痕迹，不需要写做法；
(2)请你帮助小红完成证明过程；
(3)若中，
，
，的周长为l，请你求出l关于k的函数表达式，并写出l的取值范围．
在
中，．设，若要证明，小明和小红两个同学分别做了以下尝试：小明的思路
如图①，延长 至点D，使 ，连接．
 ，得出  ，因为  得出  即  从而证明 |
如图②，将沿直线l翻折，使点B与点C重合，l与 分别交于点D，E，连接．
|
(1)请你用尺规作图方法，帮小红画出折痕所在的直线
，保留作图痕迹，不需要写做法；(2)请你帮助小红完成证明过程；
(3)若
中，，，的周长为l，请你求出l关于k的函数表达式，并写出l的取值范围．
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8 . 如图，直线
与反比例函数
的图象相交于点
，
，与
轴交于点
(2)点是轴上一动点，求
的值最大时，点的坐标．
与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点
(2)点
是轴上一动点，求的值最大时，点的坐标．
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9 . 某车站实行智能通道闸机检票．如图是一个智能通道闸机两闸翼伸出时的截面图，扇形
和
是闸机的两闸翼，两闸翼成轴对称和
均垂直于地面，扇形的圆心角
，半径
，点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为
．与之间的距离（参考数据：
，
，
）；
(2)经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数．
和是闸机的两闸翼，两闸翼成轴对称和均垂直于地面，扇形的圆心角，半径，点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为．
与之间的距离（参考数据：，，）；(2)经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数．
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10 . 【问题提出】
（1）如图1，在
中，
，
，
，点D是的中点，点E在上，且
，点F是边上的一个动点，连接
、，求
的最小值；
【问题解决】
（2）如图2，四边形是某市的一块绿地公园，已知该绿地公园的两个入口G、H分别在、边上，
，
，
，
，
，
，现计划在边上修建一个半径为
的圆形休闲娱乐广场（即
的圆心在上，且的半径为），再沿直径设置一排休息长椅（宽度忽略不计，且
），在F处设置自助饮水设备，需要沿
和
铺设地下水管，从节约成本的角度考虑，铺设地下水管的长度
要最小，请你求出的最小值．
（1）如图1，在
中，，，，点D是的中点，点E在上，且，点F是边上的一个动点，连接、，求的最小值；【问题解决】
（2）如图2，四边形
是某市的一块绿地公园，已知该绿地公园的两个入口G、H分别在、边上，，，，，，，现计划在边上修建一个半径为的圆形休闲娱乐广场（即的圆心在上，且的半径为），再沿直径设置一排休息长椅（宽度忽略不计，且），在F处设置自助饮水设备，需要沿和铺设地下水管，从节约成本的角度考虑，铺设地下水管的长度要最小，请你求出的最小值．
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