1 . 将直角绕着直角顶点C旋转一定的角度，得到，点B正好落在DE边上，连接AE，若，则（       ）

   

A．

B．

C．

D．

2 . 请阅读下列材料并完成相应的问题：如果一个点把一条线段分割成两部分，较长线段与整条线段之比等于较短线段与较长线段之比，则这个点叫做这条线段的黄金分割点，由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割比，也称为中外比．如图，点是线段的黄金分割点，或就是黄金比，其比值为．当等腰三角形的底与腰之比为黄金比时，这个三角形是黄金三角形．

   
(1)已知一本书的宽与长之比等于黄金比，它的长为，求它的宽；
(2)如图，在中，，，平分交于点．求证：是黄金三角形；
(3)如图，是的内接正十边形的边长，求的值．

3 . 【初建模型】（1）如图①，和都是等腰三角形，，，连接．求证：．分析：要证明，我们可以通过        （只填序号）的方法证明和全等即可．
①   ②   ③   ④
【类比探究】（2）如图②，和都是等腰直角三角形，，连接．请你写出与的数量关系，并说明理由．
【拓展提升】（3）如图③，在图②的基础上，延长，交于点F，交的延长线于点G，求的值．
   

4 . 如图，是的直径，C为下方半圆上一动点，交于点D．

(1)求证：；
(2)已知半径为r，设，求x与y的关系式；
(3)点P为上方圆外一点，且，连结，交上半圆于点E，已知当时，，求的值．

5 . 小明在探究一个角的正弦值与余弦值之间的关系发现：．已知中，则______．

6 . 如图，射线在第一象限内，射线在第二象限内，，射线与函数交于点A，射线与函数交于点B，连接，根据下列条件解答问题：

(1)如图，过点A作轴于点D，过点B作轴于点C，求证：；
(2)如果点A的坐标是，求点B的坐标；
(3)当在x轴的上方，绕着原点O转动的过程中，的度数是否保持不变？如果不变，求的值？如果变化，请说明理由．

7 . 如图，在矩形中，，，点P在边上，连接，以为边，作矩形（点A，P，M，N按顺时针排列），且矩形矩形．

(1)如图1，，求的正弦；
(2)在（1）的基础上，求点N到直线的距离；
(3)当矩形的一个顶点落在射线上时，求的长．

8 . 如图，已知是矩形的对角线，，交延长线于，交于，交于.

(1)求证：点是的重心；
(2)如果，求的正弦值.

9 . 定义：对于抛物线（、、是常数，），若，则称该抛物线是黄金抛物线，已知平面直角坐标系，抛物线是黄金抛物线，与轴交于点，顶点为．

(1)求此黄金抛物线的表达式及点坐标；
(2)点在这个黄金抛物线上．
①点在这个黄金抛物线的对称轴上，求的正弦值．
②在射线上是否存在点，使以点、、所组成的三角形与相似，且相似比不为1．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

10 . 如图，矩形中，，，，分别为上两个动点，连接，将矩形沿折叠，点，的对应点分别为，．

(1)如图，当点落在边上时，连接．
①求的值；
②若点为的中点，求的长．
(2)如图，若为的中点，，求的值．