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1 . 对于定义域为的函数,如果存在区间,同时满足:①函数在区间内是单调函数;②当定义域为时,的值域也是,则称是该函数的和谐区间.
(1)求证:函数不存在和谐区间;
(2)已知:函数有和谐区间,当变化时,求出的最大值;
(3)易知,函数是以任一区间为它的“和谐区间”,试再举一例有和谐区间的函数,并写出它的个和谐区间(不需要证明,但是不能用本题已经讨论过的以及形如的函数).
(1)求证:函数不存在和谐区间;
(2)已知:函数有和谐区间,当变化时,求出的最大值;
(3)易知,函数是以任一区间为它的“和谐区间”,试再举一例有和谐区间的函数,并写出它的个和谐区间(不需要证明,但是不能用本题已经讨论过的以及形如的函数).
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2 . 已知函数.
(1)求证:在上是单调递增函数(用定义证明);
(2)若在上的值域是,求的值.
(1)求证:在上是单调递增函数(用定义证明);
(2)若在上的值域是,求的值.
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3 . 已知函数的定义域为,若在上为增函数,则称为“一阶比增函数”.
(1)若是“一阶比增函数”,求实数的取值范围;
(2)若是“一阶比增函数”,求证:,,;
(3)若是“一阶比增函数”,且有零点,求证:有解.
(1)若是“一阶比增函数”,求实数的取值范围;
(2)若是“一阶比增函数”,求证:,,;
(3)若是“一阶比增函数”,且有零点,求证:有解.
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解题方法
4 . 已知函数.
(1)若为单调函数,求的取值范围;
(2)设函数,记的最大值为.
(i)当时,求的最小值;
(ii)证明:对.
(1)若为单调函数,求的取值范围;
(2)设函数,记的最大值为.
(i)当时,求的最小值;
(ii)证明:对.
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解题方法
5 . 已知函数.
(1)若在上单调递增,求实数的取值范围;
(2)求证:,恒成立.
(1)若在上单调递增,求实数的取值范围;
(2)求证:,恒成立.
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6 . 设函数是定义在上的函数,若存在,使得在上单调递增,在上单调递减,则称为上的单峰函数,称为峰点,称为含峰区间.
(1)判断下列函数中,哪些是上的单峰函数?若是,指出峰点;若不是,说出原因:,,,;
(2)若函数是区间上的单峰函数,证明:对任意的,,若,则为含峰区间;若,则为含峰区间.
(3)若函数是区间上的单峰函数,求实数的取值范围.
(1)判断下列函数中,哪些是上的单峰函数?若是,指出峰点;若不是,说出原因:,,,;
(2)若函数是区间上的单峰函数,证明:对任意的,,若,则为含峰区间;若,则为含峰区间.
(3)若函数是区间上的单峰函数,求实数的取值范围.
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7 . 若函数在定义域内的某个区间上是增函数,而在区间上是减函数,则称函数在区间上是“弱增函数”.
(1)分别判断,在区间上是否是“弱增函数”(不必证明);
(2)若函数(、是常数)在区间上是“弱增函数”,求、应满足的条件;
(3)已知(是常数且),若存在区间使得在区间上是“弱增函数”,求的取值范围.
(1)分别判断,在区间上是否是“弱增函数”(不必证明);
(2)若函数(、是常数)在区间上是“弱增函数”,求、应满足的条件;
(3)已知(是常数且),若存在区间使得在区间上是“弱增函数”,求的取值范围.
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解题方法
8 . 已知定义在区间上的函数.
(1)判断函数在的单调性,并用定义证明;
(2)设方程有四个不相等的实根,,,.
①证明:;
②在是否存在实数a,b,使得函数在区间单调,且的取值范围为,若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
(1)判断函数在的单调性,并用定义证明;
(2)设方程有四个不相等的实根,,,.
①证明:;
②在是否存在实数a,b,使得函数在区间单调,且的取值范围为,若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
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2020-10-12更新
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936次组卷
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5卷引用:江西省南昌市江西师大附中2019-2020学年高一上学期10月月考数学试题
2018·上海宝山·二模
9 . 已知函数,的在数集上都有定义,对于任意的,当时,或成立,则称是数集上的限制函数.
(1)求在上的限制函数的解析式;
(2)证明:如果在区间上恒为正值,则在上是增函数;[注:如果在区间上恒为负值,则在区间上是减函数,此结论无需证明,可以直接应用]
(3)利用(2)的结论,求函数在上的单调区间.
(1)求在上的限制函数的解析式;
(2)证明:如果在区间上恒为正值,则在上是增函数;[注:如果在区间上恒为负值,则在区间上是减函数,此结论无需证明,可以直接应用]
(3)利用(2)的结论,求函数在上的单调区间.
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解题方法
10 . 已知函数的定义域是R,对任意的实数m,n,都有,且,当时,.
(1)求,,;
(2)判断函数的单调性,并证明;
(3)若对任意的恒成立,求t的取值范围.
(1)求,,;
(2)判断函数的单调性,并证明;
(3)若对任意的恒成立,求t的取值范围.
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