1 . 已知函数.
（1）若，求证：函数是偶函数；
（2）若，用定义证明函数在上单调递增；
（3）是否存在实数，使得在区间上的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

2 . 已知函数．
（1）求的定义域、值域并写出其单调区间及单调性（不要求证明）；
（2）判断并用定义证明函数在区间上的单调性．

3 . 已知定理：“若a，b为常数，满足，则函数的图象关于点中心对称”，设函数，定义域为A.
（1）试证明的图象关于点成中心对称；
（2）当时，求证：.
（3）对于给定的，设计构造过程：.如果，构造过程将继续下去；如果，构造过程将停止.若对任意，构造过程可以无限进行下去，求a的值.

4 . 已知.
（1）求证：在上是增函数；
（2）①，猜想与的大小关系；
②证明①的猜想的结论；
③求函数的最值.

5 . 若函数对任意的，均有，则称函数具有性质．
（1）若函数具有性质，且，求证：对任意有；
（2）在（1）的条件下，是否对任意均有．若成立给出证明，若不成立给出反例并说明理由．

6 . 已知函数对任意，总有，且当时， ，，
(Ⅰ)求证：函数是奇函数；
(Ⅱ)利用函数的单调性定义证明，在上的单调递减；
(Ⅲ)若不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围.

7 . 设函数的定义域分别为，且.若对于任意，都有，则称是在上的一个延拓函数.给定.
（1）若是在上的延拓函数，且为奇函数，求的解析式.
（2）设为在上的任意一个延拓函数，且是上的单调函数，试判断函数在上的单调性，并加以证明.
（3）在（2）的条件下，设，求证：
（4）在（2）的条件下，求证：关于的不等式有解.

8 . 设，函数为常数，．
（1）若，求证：函数为奇函数；
（2）若．
①判断并证明函数的单调性；
②若存在，，使得成立，求实数的取值范围．

9 . 定义域和值域均为的函数满足：，当时，有.
（1）判断函数的奇偶性并证明；
（2）求证：在上单调递增.

10 . 已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x+y）＝f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并给出证明；
（2）求证：函数f（x）是R上的减函数．