1 . 早在公元5世纪,我国数学家祖暅在求球体积时,就创造性地提出了一个原理“幂势既同,则积不容异”,意思是两个同高的几何体,若在任意给定的等高处的截面积相等,则体积相等,在推导半径为R的球的体积公式时,可以先构造如下如图所示的圆柱体,圆柱体的底面半径和高都为R,其底面和半球体的底面同在平面
内,然后挖去一个圆锥后运用祖暅原理来推导,请你把如图补充完整并写出球的体积公式的证明.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e170f206fdbbd834aad7580c727e2cc6.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2021/11/6/2845039488245760/2849122820620288/STEM/6b1e1a28d5b0470f9739e416882510dd.png?resizew=466)
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2021-11-11更新
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953次组卷
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5卷引用:上海市位育中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题
上海市位育中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题(已下线)8.3简单几何体的表面积与体积C卷(已下线)第08讲 简单几何体的表面积和体积(核心考点讲与练)-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略(人教A版2019必修第二册)(已下线)第03讲 空间图形的表面积和体积-【帮课堂】2021-2022学年高一数学同步精品讲义(苏教版2019必修第二册)(已下线)第二章 立体几何中的计算 专题三 空间体积的计算 微点2 祖暅原理及球体积辅助体综合训练【培优版】
2 . 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登上望烽火,黄昏饮马傍交河,”诗中隐含着一个有趣的“将军饮马”问题,这是一个数学问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回军营,怎样走才能使得总路程最短?在平面直角坐标系中,将军从点
处出发,河岸线所在直线方程为
,并假定将军只要到达军营所在区域即为回到军营.
(1)若军营所在区域为
:
,求“将军饮马”的最短总路程;
(2)若军营所在区域为为
:
,求“将军饮马”的最短总路程.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6f2b1f4120365cb6ee4925fe417563f9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3dcaada7649455fbebcdbdbb9a94e6a1.png)
(1)若军营所在区域为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0cb9ad1e34877b0db02d0219332b0f7b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0dccf7fdc9ff5e9e6ed897ec3a716a35.png)
(2)若军营所在区域为为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c1d03a3a4d442c9f04afe93a065e084a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/eae4ff083676a0e601d0cf8fe3c7e3e9.png)
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2021-10-09更新
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1194次组卷
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5卷引用:江西省南昌市第八中学2021-2022学年高二10月月考数学(理)试题
江西省南昌市第八中学2021-2022学年高二10月月考数学(理)试题江西省南昌市第八中学2021-2022学年高二10月月考数学(文)试题(已下线)数学与生活-数学与交通重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高二下学期开学学业质量联合调研抽测数学试题(已下线)2.1.1-2.1.2 圆的标准方程 圆的一般方程(十一大题型)(分层练习)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂(沪教版2020选择性必修第一册)
3 . 如图所示五面体
的形状就是《九章算术》中所述“羡除”其中
,“羡除”形似“楔体”.“广”是指“羡除”的三条平行侧棱之长a,b,c、“深”是指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离m、“袤”是指这两条侧棱所在平行直线之间的距离n.已知
,则此“羡除”的体积为____________ .
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2021-08-07更新
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749次组卷
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5卷引用:陕西省安康市2020-2021学年高二下学期期末文科数学试题
陕西省安康市2020-2021学年高二下学期期末文科数学试题广东省汕头市金山中学2021-2022学年高二上学期开学考试数学试题上海师范大学第二附属中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题(已下线)专题7-2 立体几何压轴小题:角度与动点、体积(讲+练)-2湖南省耒阳市第一中学2023-2024学年高一下学期第三次月考数学试题
4 . 我国南北朝时期的数学家祖暅(杰出数学家祖冲之的儿子),提出了计算体积的祖暅原理:“幂势既同,则积不容异.”意思是:两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等.已知曲线
,直线
为曲线
在点
处的切线.如图所示,阴影部分为曲线
、直线
以及
轴所围成的平面图形,记该平面图形绕
轴旋转一周所得的几何体为
.过
(
)作
的水平截面,所得截面面积
(用
表示),试借助一个圆锥,并利用祖暅原理,得出
体积为___________ .
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![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/11/28/8f64291a-d43d-484c-b879-4334045c44f8.png?resizew=328)
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名校
解题方法
5 . 半正多面体(semiregularsolid)亦称“阿基米德多面体”,是由边数不全相同的正多边形围成的多面体,体现了数学的对称美.以正方体每条棱的中点为顶点构造一个半正多面体,如图,它由八个正三角形和六个正方形构成,若它的所有棱长都为1,则该半正多面体外接球的表面积为___________ ;若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动,则该正四面体体积最小值为___________ .
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2021/5/31/2733179220434944/2735041522171904/STEM/070e4da2-ffe9-4378-b01b-a8af851109db.png?resizew=167)
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2021-06-03更新
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1615次组卷
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4卷引用:安徽省合肥市第一中学2021届高三下学期6月最后一卷理科数学试题
安徽省合肥市第一中学2021届高三下学期6月最后一卷理科数学试题湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2021-2022学年高一下学期期中模拟检测数学试题(已下线)第01讲 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 (练)广东省韶关市广东北江实验中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题
6 . 美丽的广州塔,以其窈窕的身姿被广州人民亲昵地称为“小蛮腰”,它的整体轮廓可以看成是双曲线的一部分绕虚轴旋转得到的.以下是研究广州塔的一个数学题型:将曲线
与
轴、
围成的部分绕
轴旋转一周,得到一旋转体,直线
绕
轴旋转一周形成的平面截此旋转体所得截面圆的面积为______ .根据祖暅原理 ,构造适当的一个或多个 几何体,求出此旋转体的体积为______ .
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2021/5/24/2727782702538752/2732450491293696/STEM/74b0d0dbe91843c1a94435d12bbf05a4.png?resizew=135)
(提示:祖暅原理:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e37a7a1882b87cadc50d07b31997cd30.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7efb78ed592b18740ab6db11530e4012.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d053b14c8588eee2acbbe44fc37a6886.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/62febf1db3a4e0e989fca82391989829.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d053b14c8588eee2acbbe44fc37a6886.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2021/5/24/2727782702538752/2732450491293696/STEM/74b0d0dbe91843c1a94435d12bbf05a4.png?resizew=135)
(提示:祖暅原理:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等)
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7 . 攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.宋代称为撮尖,清代称为攒尖.依其平面有圆形攒尖,三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等,也四有单檐和重檐之分,多见于亭阁式建筑.如图所示.某园林建筑屋顶为六角攒尖,它的主轮廓可近似看作一个正六棱锥(底面为正六边形,从顶点向底面作垂线,垂足是底面中心).若正六棱锥的侧棱与高线所成的角为
,则其外接球半径与侧棱长的比值为( )
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/11/28/07e15468-2d47-4442-809a-11e32ccd862a.png?resizew=181)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e170f206fdbbd834aad7580c727e2cc6.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/11/28/07e15468-2d47-4442-809a-11e32ccd862a.png?resizew=181)
A.![]() | B.![]() | C.![]() | D.![]() |
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2021-03-14更新
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1957次组卷
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10卷引用:河南省2021届普通高中毕业班高考适应性测试数学(文)试题
河南省2021届普通高中毕业班高考适应性测试数学(文)试题(已下线)专题8.1 基本立体图形及其直观图(B卷提升篇)-2020-2021学年高一数学必修第二册同步单元AB卷(新教材人教A版,浙江专用)(已下线)专题39 仿真模拟卷05-2021年高考数学(理)二轮复习热点题型精选精练(已下线)专题36 仿真模拟卷05-2021年高考数学(文)二轮复习热点题型精选精练(已下线)专题10 立体几何-备战2021年高考数学(文)经典小题考前必刷集合(已下线)解密14 空间中的平行与垂直(分层训练)-【高频考点解密】2021年高考数学(文)二轮复习讲义+分层训练山西省朔州市怀仁市2020-2021学年高一下学期期末数学试题(已下线)专题8.1 与数学文化相关的数学考题-玩转压轴题,进军满分之2021高考数学选择题填空题(已下线)专题一 点、直线和平面之间的位置关系-2021-2022学年高二数学同步单元AB卷(人教A版2019选择性必修第一册)(已下线)2020年高考全国1数学理高考真题变式题1-5题
8 . 《九章算术》是古代中国的第一部自成体系的数学专著,与古希腊欧几里得的《几何原本》并称现代数学的两大源泉.《九章算术》卷五记载:“今有刍甍,下广三丈,表四丈,上袤二丈,无广,高一丈.问积几何?”译文:今有如图所示的屋脊状楔体
,下底面
是矩形,假设屋脊没有歪斜,即
的中点
在底面
上的投影为矩形
的中心点
,
,
,
,
,
(长度单位:丈).则楔体
的体积为___________ (体积单位:立方丈).
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c1495d978630b64c271afda1742664d1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/411b38a18046fea8e9fab1f9f9b80a5f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7a5f1641947153c80b987320885a2b57.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4aa0df7f1e45f9de29e802c7f19a4f64.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/411b38a18046fea8e9fab1f9f9b80a5f.png)
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![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/11/12/b0e37242-4721-424e-b609-68c2a4be60f0.png?resizew=234)
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2021-02-22更新
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1745次组卷
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9卷引用:湖北省武汉市武昌区2020-2021学年高三上学期1月质量检测数学试题
湖北省武汉市武昌区2020-2021学年高三上学期1月质量检测数学试题江苏省无锡市天一中学2021届高三下学期二模考前热身模拟数学试题(已下线) 专题18 几何体的表面积与体积的求解 (测)-2021年高三数学二轮复习讲练测(新高考版)(已下线) 专题22 几何体的表面积与体积的求解 (测)-2021年高三数学二轮复习讲练测(文理通用)山西省运城市高中联合体2021届高三下学期4月模拟数学(文)数学试题(已下线)押第16题 立体几何综合-备战2021年高考数学(理)临考题号押题(全国卷2)(已下线)考点40 空间几何体-备战2021年高考数学经典小题考前必刷(新高考地区专用)重庆市凤鸣山中学2021届高三下学期第一次月考数学试题湖北省黄石市大冶市第一中学2021-2022学年高二上学期9月月考数学试题
2021高三·全国·专题练习
解题方法
9 . 我国古代数学名著《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱(侧棱垂直于底面的三棱柱)称之为“堑堵”.如图,三棱柱
为一个“堑堵”,底面
是以
为斜边的直角三角形,且
,点
在棱
上,且
,当
的面积取最小值时,三棱锥
的外接球的表面积为________ .
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10 . 2020年11月,我国用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器,探测器在进入近圆形的环月轨道后,将实施着陆器和上升器组合体与轨道器和返回器组合体分离.我们模拟以下情景:如图,假设月心位于坐标原点
,探测器在
处以
的速度匀速直线飞向距月心
的圆形轨道上的某一点
,在点
处分离出着陆器和上升器组合体后,轨道器和返回器组合体立即以
的速度匀速直线飞至
,这一过程最少用时_______________ s.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1dde8112e8eb968fd042418dd632759e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/22094e88d843289ca908d2e99ab9b234.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e2fb2a2e3f1e0b3687b669507fb93a94.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dad2a36927223bd70f426ba06aea4b45.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dad2a36927223bd70f426ba06aea4b45.png)
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![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/11/18/d80d2b3b-5287-410b-ab0c-eadd179c58eb.png?resizew=368)
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2021-01-30更新
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1849次组卷
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8卷引用:广东省佛山市2020-2021学年高二上学期期末数学试题
广东省佛山市2020-2021学年高二上学期期末数学试题(已下线)第2章 圆与方程 单元测试(单元培优)-2021-2022学年高二数学课后培优练(苏教版2019选择性必修第一册)辽宁省沈阳市第一中学2021-2022学年高二上学期10月月考数学试题湖南省长沙市长郡中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题(已下线)专题6.2 期中押题检测卷(考试范围:第1-3章)2(中)-【满分计划】2021-2022学年高二数学阶段性复习测试卷(苏教版2019选择性必修第一册) (已下线)专题2.3 圆与方程 章末检测3(难)-【满分计划】2021-2022学年高二数学阶段性复习测试卷(苏教版2019选择性必修第一册)(已下线)第2章《圆与方程》 培优测试卷(一)-2021-2022学年高二数学同步培优训练系列(苏教版2019选择性必修第一册)(已下线)专题9-2 圆的综合题型归类-2