1 . 已知椭圆的方程为.

（1）设是椭圆上的点，证明：直线与椭圆有且只有一个公共点；
（2）过点作两条与椭圆只有一个公共点的直线，公共点分别记为､，点在直线上的射影为点，求点的坐标；
（3）互相垂直的两条直线与相交于点，且､都与椭圆只有一个公共点，求点的轨迹方程.

2 . 设.
（1）证明：；
（2）若，求的取值范围.

3 . 郑州中原福塔的外立面呈双曲抛物面状，造型优美，空中俯瞰犹如盛开的梅花绽放在中原大地，是现代建筑与艺术的完美结合.双曲抛物面又称马鞍面，其在笛卡尔坐标系中的方程与在平面直角坐标系中的双曲线方程类似.双曲线在物理学中具有很多应用，比如波的干涉图样为双曲线､反射式天文望远镜利用了其光学性质等等.

（1）已知，是在直线两侧且到直线距离不相等的两点，为直线上一点.试探究当点的位置满足什么条件时，取最大值；
（2）若光线在平滑曲线上发生反射时，入射光线与反射光线关于曲线在入射点处的切线在该点处的垂线对称.证明：由双曲线一个焦点射出的光线，在双曲线上发生反射后，反射光线的反向延长线交于双曲线的另一个焦点.

4 . 如图，已知点是焦点为的抛物线上一点，，是抛物线上异于的两点，且直线，的倾斜角互补，若直线的斜率为．

（Ⅰ）证明：直线的斜率为定值；
（Ⅱ）求焦点到直线的距离（用表示）；
（Ⅲ）在中，记，，求的最大值．

5 . 已知复数在复平面内对应的点为，且满足，点的轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）设，，若过的直线与交于，两点，且直线与交于点.证明：
（i）点在定直线上；
（ii）若直线与交于点，则.

6 . 已知函数，，在处取得极大值1.
（1）求和的值；
（2）当时，曲线在曲线的上方，求实数的取值范围.
（3）设，证明：存在两条与曲线和都相切的直线.

7 . 已知，直线为曲线在处的切线，直线与曲线相交于点且.
(1)求的取值范围；
(2)（i）证明：；
（ii）证明：.