1 . 假设半径为r的圆的面积为
,我们用下面的方法推出圆的周长公式
.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2021/11/11/2849055774760960/2849848105508864/STEM/635e291f-74c8-4855-b9fb-c375a54fe64d.png?resizew=650)
如图,设h是一个正数,考查半径分别为r和
的两个同心圆所围成的圆环(图中阴影区域).这个圆环的面积为
.
可以看出,
,其中
是以小圆周长为长、h为宽的矩形的面积,
是以大圆周长为长、h为宽的矩形的面积.
所以有
,即
.
如果h越来越小(趋于0),那么大圆的周长C趋近于小圆的周长c,且
趋于0,因此我们得到
,
从而
.
用类似的方法证明:假设半径为R的球的体积为
,那么球的表面积为
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/522f6597d38b3575f568184c58c2218d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/89e90eebb4d2cba4a3917b49463ac9ba.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2021/11/11/2849055774760960/2849848105508864/STEM/635e291f-74c8-4855-b9fb-c375a54fe64d.png?resizew=650)
如图,设h是一个正数,考查半径分别为r和
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/db537643b28ba1f2febae96e2de7dec2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/65ded97fc206816cf2ef8c9284d3ceea.png)
可以看出,
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c7a76954ca6caf82998fcc5545988db1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e097c8d4c948de063796bd19f85b3a9a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1e0bd63f55069a3bc870915010b39225.png)
所以有
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3d359d27d575f6d8f8cfefe074a93e77.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a1841855a3cc3f91f092489ec2afbbd5.png)
如果h越来越小(趋于0),那么大圆的周长C趋近于小圆的周长c,且
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a6152c6d03200b6b5b979e4fe42305a8.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4ae889e16c7f4c1d5855619af9a0baf1.png)
从而
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/89e90eebb4d2cba4a3917b49463ac9ba.png)
用类似的方法证明:假设半径为R的球的体积为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4ca331ac8409eeb1d0ebf4219f1b1511.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0db492b8c6e11afe336ee7d4a32e51a0.png)
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20-21高一·全国·课后作业
2 . 在复数范围内,证明
,并由此写出-1的4个四次方根.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2e2682cea975eb5cab6a4ff87872feb8.png)
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20-21高一·全国·课后作业
3 . 证明:
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b0c7de238c8d02a87c0e36181c3c27b7.png)
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4 . 已知
,
,求证:
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/55867478e05d3de0b51a99d685127beb.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b2c916fd7ddb4e800d98b15ce54c4d66.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d9be8ba23d0163db66bd43a2832b90e0.png)
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2021-03-25更新
|
96次组卷
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2卷引用:沪教版(2020) 必修第二册 领航者 第9章 复数 每周一练(2)
解题方法
5 . 复数
,设
在复平面上对应的点为
.
(1)求证:复数
不可能是纯虚数;
(2)若
,求
的值;
(3)若点
在第三象限,求
的取值范围;
(4)若点
在直线
上,求
的值.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1bf3c478f4d30945aa7819b2eb76b3d1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e81e59019989b7dc2fb59b037ef6e010.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0d8b9ad2fcfff3dd546c5fdbedfe6238.png)
(1)求证:复数
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e81e59019989b7dc2fb59b037ef6e010.png)
(2)若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/63bf127f78fef8bd5aa1674f59a6ef47.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
(3)若点
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0d8b9ad2fcfff3dd546c5fdbedfe6238.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
(4)若点
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0d8b9ad2fcfff3dd546c5fdbedfe6238.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0422763a223a1a690c9c488f6b4076ab.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
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名校
6 . 已知函数
有两个不同的零点
.
(1)求实数a的取值范围;
(2)记
的极值点为
,求证:
①
;
②
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b04ed0b0dcd93f16e23e1326d0c5f21f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/aca579894dad67bc82cb715fd48e0d70.png)
(1)求实数a的取值范围;
(2)记
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4fe7d5809da02c15a43a0e9a898b9086.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/79b752f0f189e5d8666daea73e145dff.png)
①
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0dad6b03f1b8da991cd29c46e89e44b4.png)
②
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5f092a9eded0cff06719fb32ad1bb61c.png)
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2021-02-05更新
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790次组卷
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5卷引用:【新东方】绍兴高中数学00037
名校
解题方法
7 . 已知函数
在
处的极值为2,其中
.
(1)求
,
的值;
(2)对任意的
,证明恒有
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3efee1de7b8eb5677de7fe6e2fed74d1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9b384412acba251d87902ab928902f16.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/94440d3e4c073f94f2b266ff99d50e74.png)
(1)求
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0a6936d370d6a238a608ca56f87198de.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2c94bb12cee76221e13f9ef955b0aab1.png)
(2)对任意的
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/97148e04ca6a9f9dca0aba91ce4e1d84.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b4889d8e3a5404ca9dae0e31cd705828.png)
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2021-09-03更新
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1183次组卷
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3卷引用:北京市清华大学附属中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题
8 . 已知函数
,
恰好有两个极值点
.
(Ⅰ)求证:存在实数
,使
;
(Ⅱ)求证:
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ca16f26000b0379138883def470d5c69.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e1e69392d21261afd8e5e5f096634669.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/aca579894dad67bc82cb715fd48e0d70.png)
(Ⅰ)求证:存在实数
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d7d82332f79318e612122e696354826c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/61e7d9f755c6a0bc4821b37287c76010.png)
(Ⅱ)求证:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0406da2fff02eab202f970e3332b6d56.png)
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2021-01-30更新
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1038次组卷
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5卷引用:【新东方】高中数学20210304-009
(已下线)【新东方】高中数学20210304-009浙江省杭州市2020-2021学年高三上学期期末数学试题浙江省杭州市2020-2021学年高三上学期期末教学质量检测数学试题(已下线)大题专练训练37:导数(构造函数证明不等式2)-2021届高三数学二轮复习浙江省杭州市第四中学下沙校区2021-2022学年高二下学期期中数学试题
名校
9 . 已知非零实数a、b、c两两不相等.证明:三个一元二次方程
,
,
不可能都只有一个实根.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6cee197a607d3e7308d9443ff46be9f1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bd8d1958a5c4045b8f72a9d45c2f5c21.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/104367e0096f4284b349c4e5e25a7e6c.png)
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2021-11-19更新
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228次组卷
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3卷引用:沪教版(2020) 必修第一册 达标检测 第一章 章测试
10 . 用反证法证明命题“已知
,则
且
”时,先假设结论不成立,即______ .
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0dccf7fdc9ff5e9e6ed897ec3a716a35.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/88a6bea084567e3055f0e58499398a46.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5b897700904b00cb79a5a75b82eb3eaf.png)
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2021-11-19更新
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219次组卷
|
2卷引用:沪教版(2020) 必修第一册 达标检测 第一章 章测试