名校
解题方法
1 . 设
，
.如果存在
使得
，那么就说
可被
整除（或整除），记做
且称是的倍数，是的约数（也可称为除数、因数）．不能被整除就记做
．由整除的定义，不难得出整除的下面几条性质：①若，
，则
；②，互质，若，，则
；③若
，则
，其中
.
(1)若数列
满足，
，其前
项和为
，证明：
；
(2)若为奇数，求证：
能被
整除；
(3)对于整数与
，
，求证：
可整除
.
，.如果存在使得，那么就说可被整除（或整除），记做且称是的倍数，是的约数（也可称为除数、因数）．不能被整除就记做．由整除的定义，不难得出整除的下面几条性质：①若，，则；②，互质，若，，则；③若，则，其中.(1)若数列
满足，，其前项和为，证明：；(2)若
为奇数，求证：能被整除；(3)对于整数
与，，求证：可整除.
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2024-05-19更新
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545次组卷
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2卷引用：河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题
名校
2 . （1）已知k，
，且
，求证：
；
（2）若，且
，证明：
；
（3）设数列
，
，
，…，
是公差不为0的等差数列，证明：对任意的，函数
是关于x的一次函数.
，且，求证：；（2）若
，且，证明：；（3）设数列
，，，…，是公差不为0的等差数列，证明：对任意的，函数是关于x的一次函数.
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3 . （1）求证：
；
（2）求证：
；
（3）若m、n、r均为正整数，试证明：
．
；（2）求证：
；（3）若m、n、r均为正整数，试证明：
．
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20-21高二·江苏·课后作业
名校
4 . 从函数角度看，
可以看成以r为自变量的函数
，其定义域是
．
(1)画出函数
的图象；
(2)求证：
；
(3)试利用（2）的结论来证明：当n为偶数时，
的展开式最中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，的展开式最中间两项的二项式系数相等且最大．
可以看成以r为自变量的函数，其定义域是．(1)画出函数
的图象；(2)求证：
；(3)试利用（2）的结论来证明：当n为偶数时，
的展开式最中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，的展开式最中间两项的二项式系数相等且最大．
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2021-12-06更新
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490次组卷
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4卷引用：7.4二项式定理
5 . (1)求证：对任意正整数，
．
(2)证明：
．
，．(2)证明：
．
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6 . （1）设
、
，
，求证：
；
（2）请利用二项式定理证明：
.
、，，求证：；（2）请利用二项式定理证明：
.
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2020-07-16更新
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746次组卷
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8卷引用：上海市静安区2019-2020学年高二下学期期末数学试题
上海市静安区2019-2020学年高二下学期期末数学试题（已下线）专题2.6 排列组合和二项式定理【章节复习专项训练】-2020-2021学年高二数学下学期期末专项复习（沪教版）上海市复旦大学附属中学青浦分校2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题（已下线）拓展二：二项式定理15种常见考法归类 -【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）高二下期末真题精选（易错60题45个考点专练）（高中全部内容）（原卷版）（已下线）对点练69 二项式定理-2020-2021年新高考高中数学一轮复习对点练（已下线）考向38 二项式定理全归纳（十五大经典题型）-3（已下线）第03讲 二项式定理（十五大题型）（讲义）-3
7 . 已知
，设多项式
，满足
，
.
（1）求
，
的值；
（2）试探究对于一切正整数，
是否一定是整数？并证明你的结论；
（3）求证：当
时，
.
，设多项式，满足，.（1）求
，的值；（2）试探究对于一切正整数
，是否一定是整数？并证明你的结论；（3）求证：当
时，.
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8 . 在杨辉三角形中，从第3行开始，除1以外，其它没一个数值是它肩上的两个数之和，这三角形数阵开头几行如图所示．
（1）证明：
；
（2）求证：第m斜列中（从右上到左下）的前K个数之和一定等于第m+1斜列中的第K个数，即
（3）在杨辉三角形中是否存在某一行，该行中三个相邻的数之比为3：8：14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由．
（1）证明：
；（2）求证：第m斜列中（从右上到左下）的前K个数之和一定等于第m+1斜列中的第K个数，即
（3）在杨辉三角形中是否存在某一行，该行中三个相邻的数之比为3：8：14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由．
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名校
解题方法
9 . 甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是
，随机变量
表示最终的比赛局数．
(1)求随机变量的分布列和期望
；
(2)若
，设随机变量的方差为
，求证：
．
，随机变量表示最终的比赛局数．(1)求随机变量
的分布列和期望；(2)若
，设随机变量的方差为，求证：．
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名校
解题方法
10 . 某商城进行促销活动，购买某产品的顾客可以参加一次游戏：在一个不透明箱子中放入红、蓝、黄三种颜色的小球各1个，顾客从中有放回地取出小球，直到取出的小球集齐了三种颜色则停止取球．设顾客停止取球时，取过的小球次数为，
(1)求
；
(2)设，数列
，求
的通项公式；
(3)顾客停止取球时，取过的小球次数为，顾客可以获得对应的
元奖金，其中
，求证：
．
，(1)求
；(2)设
，数列，求的通项公式；(3)顾客停止取球时，取过的小球次数为
，顾客可以获得对应的元奖金，其中，求证：．
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