1 . 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程；
(2)已知直线与曲线交于两点，，求证：为定值.

2 . 在平面直角坐标系xOy中，曲线的方程为，点P为曲线上任意一点，记线段OP的中点Q的轨迹为曲线，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程；
(2)若点M，N分别是曲线和上的点，且，证明：为定值.

3 . 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，（其中是参数，）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)证明：曲线过定点；
(2)若曲线与曲线无公共点，求的取值范围．

4 . 已知椭圆，设直线不经过点的直线交于两点，若直线的斜率之和为，证明：直线恒过定点．

5 . 在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)设直线l与y轴的交点为P，经过点P的动直线m与曲线C交于A，B两点，证明：为定值.

6 . 如图所示，已知半圆O的直径为，l为位于半圆之外，而又垂直于延长线的一直线，其垂足为T，且，又M，N是半圆上的不同的两点，，，且.求证：.

7 . 在平面直角坐标系中.直线（t为参数，为l的倾斜角.）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆，直线l与圆C交于M.N两点.
(1)若直线l的斜率，求弦MN的中点Q的直角坐标与弦长的值；
(2)若点.证明：对任意，有为定值.并求出这个定值.

8 . 如图，在直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的心型曲线的极坐标方程为为曲线上一动点，曲线的参数方程为为参数，.

(1)若与交于三点，证明：为定值；
(2)射线逆时针旋转后与交于点，求的最大值.

9 . 在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为（t为参数），设原点O在圆C的内部，直线l与圆C交于M，N两点；以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求直线l和圆C的极坐标方程，并求a的取值范围；
(2)求证：为定值．

10 . 在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．
(1)求的普通方程和圆的直角坐标方程．
(2)设与的交点为M，N，证明：是等腰直角三角形．