1 . 参数方程是以参变量为中介来表示直线或曲线上点的坐标的方程，是直线或曲线在同一坐标系下的另一种表现形式．很多曲线（如心脏线、螺线、玫瑰线）都可以用参数方程呈现．在平面直角坐标系
中，直线
的参数方程式
（
为参数），其中
，角
为直线的倾斜角．曲线
的参数方程是
（
为参数）．其中
，直线与曲线相交于
、
点．
(1)根据以上的参数方程求出直线的一般式方程和曲线的标准方程；
(2)设点
，设点对应的参数为
，试证明：
；
(3)试问是否存在角，使得对于任意的点，表达式
均为定值
，若存在，请求出
及值（结果用
，
表示）；若不存在，请说明理由．
中，直线的参数方程式（为参数），其中，角为直线的倾斜角．曲线的参数方程是（为参数）．其中，直线与曲线相交于、点．(1)根据以上的参数方程求出直线
的一般式方程和曲线的标准方程；(2)设点
，设点对应的参数为，试证明：；(3)试问是否存在角
，使得对于任意的点，表达式均为定值，若存在，请求出及值（结果用，表示）；若不存在，请说明理由．
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名校
2 . 在平面直角坐标系中，对于任意一点
，总存在一个点
满足关系式
，则称
为平面直角坐标系中的伸缩变换.
(1)在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换
，使得椭圆
变换为一个单位圆；
(2)在同一直角坐标系中，
（
为坐标原点）经平面直角坐标系中的伸缩变换得到
，记和的面积分别为
与
，求证：
；
(3)若
的三个顶点都在椭圆
上，且椭圆中心恰好是的重心，求的面积.
中，对于任意一点，总存在一个点满足关系式，则称为平面直角坐标系中的伸缩变换.(1)在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换
，使得椭圆变换为一个单位圆；(2)在同一直角坐标系中，
（为坐标原点）经平面直角坐标系中的伸缩变换得到，记和的面积分别为与，求证：；(3)若
的三个顶点都在椭圆上，且椭圆中心恰好是的重心，求的面积.
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2023-01-10更新
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457次组卷
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2卷引用：上海市七宝中学2023届高三上学期元月模拟数学试题
3 . 如图所示，已知半圆O的直径为
，l为位于半圆之外，而又垂直于
延长线的一直线，其垂足为T，且
，又M，N是半圆上的不同的两点，
，
，且
.求证：
.
，l为位于半圆之外，而又垂直于延长线的一直线，其垂足为T，且，又M，N是半圆上的不同的两点，，，且.求证：.
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2021-09-25更新
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228次组卷
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2卷引用：高中数学解题兵法 第三十三讲 命题之间的转化与变换
2022高三·全国·专题练习
解题方法
4 . 已知椭圆
，设直线不经过点
的直线交于
两点，若直线
的斜率之和为
，证明：直线恒过定点．
，设直线不经过点的直线交于两点，若直线的斜率之和为，证明：直线恒过定点．
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2022-02-24更新
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1123次组卷
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6卷引用：解密14 椭圆及其方程（讲义）-【高频考点解密】2022年高考数学二轮复习讲义+分层训练（新高考专用）
（已下线）解密14 椭圆及其方程（讲义）-【高频考点解密】2022年高考数学二轮复习讲义+分层训练（新高考专用）（已下线）专题41 定比点差法、齐次化、极点极线问题、蝴蝶问题（已下线）专题13 圆锥曲线压轴解答题常考套路归类（精讲精练）-2（已下线）重难点突破18 定比点差法、齐次化、极点极线问题、蝴蝶问题（四大题型）（已下线）专题18 圆锥曲线高频压轴解答题（16大题型）（练习）（已下线）大招17超级韦达定理
5 . 如图所示，在平面直角坐标系中，P是不在x轴上的一个动点，过点P可作抛物线
的两条切线，两切点A、B的连线与
垂直.设直线与直线与x轴的交点分别为Q、R.
(1)证明：R是一个定点；
(2)求
的最小值.
中，P是不在x轴上的一个动点，过点P可作抛物线的两条切线，两切点A、B的连线与垂直.设直线与直线与x轴的交点分别为Q、R.(1)证明：R是一个定点；
(2)求
的最小值.
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2021-09-25更新
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622次组卷
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3卷引用：2014年全国高中数学联合竞赛试题
解题方法
6 . 具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”．
（1）如图所示，已知“盾圆D”的方程为
设“盾圆D”上的任意一点M到
的距离为
，M到直线
的距离为
，求证：
为定值；
（2）由抛物线弧
，
与椭圆弧
所合成的封闭曲线为“盾圆E”．设过点的直线与“盾圆E”交于A、B两点，
，
，且
（
），试用
表示
，并求
的取值范围．
（1）如图所示，已知“盾圆D”的方程为
设“盾圆D”上的任意一点M到的距离为，M到直线的距离为，求证：为定值；（2）由抛物线弧
，与椭圆弧所合成的封闭曲线为“盾圆E”．设过点的直线与“盾圆E”交于A、B两点，，，且（），试用表示，并求的取值范围．
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2020·全国·模拟预测
7 . （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为
(为参数).在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为
.
（1）求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；
（2）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值与最小值.
（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知
.
（1）求不等式
的解集；
（2）若
的最小值为M，且
，求证：
.
在平面直角坐标系
中，曲线C的参数方程为(为参数).在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为.（1）求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；
（2）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值与最小值.
（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知
.（1）求不等式
的解集；（2）若
的最小值为M，且，求证：.
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名校
8 . 在直角坐标系中，直线的参数方程为，
，（
为参数）.以坐标原点为极点，以
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆的极坐标方程为
.
求证：直线与圆必有两个公共点；
已知点的直角坐标为
，直线与圆交于
，
两点，若
，求的值.
中，直线的参数方程为，，（为参数）.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆的极坐标方程为.求证：直线与圆必有两个公共点；已知点的直角坐标为，直线与圆交于，两点，若，求的值.
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2020·全国·模拟预测
9 . （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为
(为参数).在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为.
（1）求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；
（2）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值与最小值.
（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知.
（1）求不等式的解集；
（2）若的最小值为M，且，求证：.
在平面直角坐标系
中，曲线C的参数方程为(为参数).在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为.（1）求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；
（2）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值与最小值.
（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知
.（1）求不等式
的解集；（2）若
的最小值为M，且，求证：.
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10 . 已知椭圆：经过点
，离心率为
，点为椭圆的右顶点，直线与椭圆相交于不同于点的两个点
.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当
时，求
面积的最大值；
(3)若
，求证：
为定值.
：经过点，离心率为，点为椭圆的右顶点，直线与椭圆相交于不同于点的两个点.(1)求椭圆
的标准方程；(2)当
时，求面积的最大值；(3)若
，求证：为定值.
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