2 . 代数基本定理是数学中最重要的定理之一，其内容为：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根．由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积．进而，一元次复系数多项式方程有个复数根（重根按重数计）．
如对于一元二次实系数方程，在时的求根公式为在时的求根公式为．所以由代数基本定理，任意一个一元二次实系数多项式可以因式分解为．
(1)在复数集中解方程：；
(2)（i）在复数集中解方程：；
（ii）写出一个以、、、为根的一元六次实系数多项式方程；（不需要写证明过程）；
(3)已知一元十次实系数多项式满足，求的值．

3 . 已知①设函数的值域是，对于中的每个，若函数在每一处都等于它对应的，这样的函数叫做函数的反函数，记作，我们习惯记自变量为，因此可改成即为原函数的反函数．易知与互为反函数，且．如的反函数是可改写成即为的反函数，与互为反函数．②是定义在且取值于的一个函数，定义，则称是函数在上的次迭代．例如，则．对于一些相对复杂的函数，为求出其次迭代函数，我们引入如下一种关系：对于给定的函数和，若函数的反函数存在，且有，称与关于相似，记作，其中称为桥函数，桥函数满足以下性质：
（i）若，则
（ii）若为的一个不动点，即，则为的一个不动点．
(1)若函数，求（写出结果即可）
(2)证明：若，则．
(3)若函数，求（桥函数可选取），若，试选取恰当桥函数，计算．

5 . 对于正整数m，n，存在唯一的自然数a，b，使得，其中，我们记．对任意正整数，定义的生成数列为，其中．
(1)求和．
(2)求的前3项．
(3)存在，使得，且对任意成立．考虑的值：当时，定义数列的变换数列的通项公式为当时，定义数列的变换数列的通项公式为若数列和数列相同，则定义函数，其中函数的定义域为正整数集．
（ⅰ）求证：函数是增函数．
（ⅱ）求证：．

6 . 全体正有理数的集合 被分拆为三个集合 (即 ，且 ，满足 ，这里
(1)给出一个满足要求的例子 (即给出 );
(2)给出一个满足要求的例子，且 中的任意两个相邻正整数均不同时 在中.

7 . 如图， 外切于点 ，过点 的直线交 于另一点 ，交 于另一点 切 于点 ，在 的延长线上取一点 ，使得 ，连接 交 于 ，求证: 与 相切.

9 . 图G是指一个有序二元组（V，E），其中V称为顶点集，E称为边集．一个图G中的两点x，y的距离是指从x到y的最短路径的边数，记作．一个图G的直径是指G中任意两点的距离的最大值，记作，即．记是模的剩余类，定义上的加法和乘法，均是模的加法和乘法，例如在中，；，．在中，设．若存在使得，则称是的一个零因子．记的所有零因子的集合为．例如．的零因子图，记为，它是以为顶点集，两个不同的顶点，之间有一条边相连当且仅当．下图是的例子．证明：对一切的整数，都有．