1 . 已知实数满足，且.证明：存在整数，使得.

2 . 将正整数数列1，2，3，…中凡是被4整除以及被4除余1的项全部删去，剩下的数按自小到大的顺序排成数列，再将数列中，凡是下标被4整除以及被4除余1的项全部删去，剩下的项按自小到大的顺序排成数列.证明：每个大于1的奇平方数，都是数列{b_n}中的两个相邻项的和.

3 . 数列{a_n}满足.
（1）证明：数列{a_n}是正整数数列；
（2）是否存在m∈Z₊，使得2109|a_m，并说明理由.

4 . 设复数数列{z_n}满足：，且对任意正整数n，均有.证明：对任意正整数m，均有.

5 . 设正整数数列满足.
(1)若，请写出所有可能的的取值；
(2)求证：中一定有一项的值为1或3；
(3)若正整数m满足当时，中存在一项值为1，则称m为“归一数”，是否存在正整数m，使得m与都不是“归一数”？若存在，请求出m的最小值；若不存在，请说明理由.

6 . 设，，正实数数列满足，且当时.求证： ⑴当时，； ⑵.

7 . 如图，在锐角中，是外心，于点，、是两条高，，、分别为外接圆、内切圆的半径.求证：是、的等差中项.

8 . 已知数列满足，．
（1）求数列的通项；
（2）求证：．

9 . 将8128的小于自身的全体正约数从小到大排列成.求证： .

10 . 设实数、，求证：对任意正整数，都有.