1 . 已知整数，证明：.

2 . 已知函数．
(1)求函数的最小值；
(2)证明： ．

3 . 已知函数的图象是自原点出发的一条折线，当时，该图象是斜率为的线段（其中正常数），设数列由定义．
(1)求和的表达式；
(2)求的表达式，并写出其定义域；
(3)证明：的图象与的图象没有横坐标大于1的交点．

4 . 已知数列满足，，且，.
(1)证明：；
(2)证明：.

5 . 设复数数列满足：，且对任意正整数n，均有：.若复数对应复平面的点为，O为坐标原点.
(1)求的面积；
(2)求；
(3)证明：对任意正整数m，均有.

7 . 已知数集具有性质P：对任意的，使得成立.
(1)分别判断数集与是否具有性质P，并说明理由；
(2)已知，求证：；
(3)若，求数集A中所有元素的和的最小值.

8 . 已知.求证：.

9 . 已知n个非负实数和为1．求证：．

10 . 求证：对于正整数n，令，数列中有无穷多个奇数和无穷多个偶数（表示不超过实数x的最大整数）．