1 . 设
为给定的正整数，实数
及
满足如下条件：
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
证明：对一切
，均有
．
为给定的正整数，实数及满足如下条件：（1）
；（2）
；（3）
；（4）
．证明：对一切
，均有．
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2 . 已知数列
满足：
，且对于任意正整数
，均有
.
求证：（1）
；
（2）数列
为单调数列.
满足：，且对于任意正整数，均有.求证：（1）
；（2）数列
为单调数列.
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3 . 已知数列，
，的前n项和为
．
(1)证明：当
时，有
．
(2)已知
，求数列
的前n项和．
，，的前n项和为．(1)证明：当
时，有．(2)已知
，求数列的前n项和．
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4 . 已知数列满足
．
（1）求证：
．
（2）是否存在实数
，使得
，若存在求出的值；若不存在．请说明理由．
满足．（1）求证：
．（2）是否存在实数
，使得，若存在求出的值；若不存在．请说明理由．
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名校
5 . 已知有穷数列
，
，
，
，
满足
，且当
时，
，令
．
（1）写出
所有可能的值；
（2）求证：一定为奇数；
（3）是否存在数列
，使得
？若存在，求出数列；若不存在，说明理由．．
，，，，满足，且当时，，令．（1）写出
所有可能的值；（2）求证：
一定为奇数；（3）是否存在数列
，使得？若存在，求出数列；若不存在，说明理由．．
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2021-07-15更新
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311次组卷
|
2卷引用：北京市第四中学2020~2021学年高二下学期期中测试数学试题
6 . 设多项式
的系数为正整数．定义数列：
．证明：对于任意的整数，均存在质数p，使得
，且
．
的系数为正整数．定义数列：．证明：对于任意的整数，均存在质数p，使得，且．
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解题方法
7 . 数列
满足
且
．证明：
其中无理数
．
满足且．证明：其中无理数．
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8 . 设集合
.若X是
的子集，把X中的所有数的和称为X的“容量”.(规定空集的容量为0).若X的容量为奇(偶)数，则称X为的奇(偶)子集.
（1）求证：的奇子集与偶子集个数相等.
（2）求证：当时,的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等.
（3）当时，求的所有奇子集的容量之和.
.若X是的子集，把X中的所有数的和称为X的“容量”.(规定空集的容量为0).若X的容量为奇(偶)数，则称X为的奇(偶)子集.（1）求证：
的奇子集与偶子集个数相等.（2）求证：当
时,的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等.（3）当
时，求的所有奇子集的容量之和.
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9 . 已知数列{
}的前n项和为，且满足
．
（1）求数列{}的通项公式；
（2）设数列
的前n项和为
，证明：
．
}的前n项和为，且满足．（1）求数列{
}的通项公式；（2）设数列
的前n项和为，证明：．
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10 . 若数列
，求证：存在无穷多个正整数n，使得
，并确定是否存在无穷多个正整数n使得
？（这里
表示不超过x的最大整数）
，求证：存在无穷多个正整数n，使得，并确定是否存在无穷多个正整数n使得？（这里表示不超过x的最大整数）
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