1 . 已知函数
，设曲线
在点
处的切线与x轴的交点为
，其中
为正实数．
(1)用
表示
；
(2)求证：对一切正整数n，
的充要条件是
；
(3)若
，记
证明数列
成等比数列，并求数列
的通项公式．
，设曲线在点处的切线与x轴的交点为，其中为正实数．(1)用
表示；(2)求证：对一切正整数n，
的充要条件是；(3)若
，记证明数列成等比数列，并求数列的通项公式．
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2022-11-23更新
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1021次组卷
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3卷引用：2007年普通高等学校招生考试数学（理）试题（四川卷）
解题方法
2 . 设
为正整数，如果表达式
同时满足下列性质，则称之为“交错和”.①
，
；②
；③当
时，
（
）；④规定：当
时，
也是“交错和”.
（1）请将7和10表示为“交错和”；
（2）若正整数
可以表示为“交错和”，求证：
；
（3）对于任意正整数，判断一共有几种“交错和”的表示方法，并证明你的结论.
为正整数，如果表达式同时满足下列性质，则称之为“交错和”.①，；②；③当时，（）；④规定：当时，也是“交错和”.（1）请将7和10表示为“交错和”；
（2）若正整数
可以表示为“交错和”，求证：；（3）对于任意正整数
，判断一共有几种“交错和”的表示方法，并证明你的结论.
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3 . 已知数列的前项和为
，
且
．
（1）证明：
，并求的通项公式；
（2）构造数列
求证：无论给定多么大的正整数
，都必定存在一个
，使
.
的前项和为，且．（1）证明：
，并求的通项公式；（2）构造数列
求证：无论给定多么大的正整数，都必定存在一个，使.
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4 . 已知数列满足
．
（1）求的通项公式，并证明：对任意的x>0，有
；
（2）求证：
满足．（1）求
的通项公式，并证明：对任意的x>0，有；（2）求证：
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5 . 已知
、
、
为实数，对大于1的整数都有
．
（1）若
、
、
成等差数列，求证：
、
、
也成等差数列；
（2）若
、
、
成等差数列，找一个反例，使
、
、
不成等差数列；
（3）对
，若
、
、
成等差数列，且公差不为0，问：
、
、
是否成等差数列？证明你的结论．
、、为实数，对大于1的整数都有．（1）若
、、成等差数列，求证：、、也成等差数列；（2）若
、、成等差数列，找一个反例，使、、不成等差数列；（3）对
，若、、成等差数列，且公差不为0，问：、、是否成等差数列？证明你的结论．
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2023高三·全国·专题练习
6 . 已知数列满足，
．
(1)证明：
．
(2)设为数列的前n项和，证明：
．
满足，．(1)证明：
．(2)设
为数列的前n项和，证明：．
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7 . 设数列满足
，证明：
存在且等于
满足，证明：存在且等于
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8 . 证明定理1：对
，
，有
（*）
，，有（*）
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9 . 已知数列
满足
.
(1)证明：是正整数数列；
(2)是否存在
，使得
？并说明理由.
满足.(1)证明：
是正整数数列；(2)是否存在
，使得？并说明理由.
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解题方法
10 . 已知数列
满足，
．
(1)求证：
；
(2)求证：
；
(3)求数列的通项公式．
满足，．(1)求证：
；(2)求证：
；(3)求数列
的通项公式．
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