1 . 已知
是自然数1，2，…，
的一个排列，且满足：对任意
，均有
．
（1）若记
为数
在排列中所处位置的序号（如排列
中，
，
，
，
）．求证：对每一个满足题意的排列，均有
成立．
（2）试求满足题意的排列的个数
．
是自然数1，2，…，的一个排列，且满足：对任意，均有．（1）若记
为数在排列中所处位置的序号（如排列中，，，，）．求证：对每一个满足题意的排列，均有成立．（2）试求满足题意的排列的个数
．
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2 . 设
个质数
构成公差为
的等差数列，且
.求证
（1）当是质数时，
；
（2）当
时，
.
个质数构成公差为的等差数列，且.求证（1）当
是质数时，；（2）当
时，.
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3 . 某县位于沙漠地带，人与自然长期进行顽强的斗争，到1998年底全县的绿化率已达到30%．从1999年开始，每年将出现这样的局面，即原有沙漠面积的16%将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4%又被沙化．
（1）设全县面积为1，1998年底绿化总面积为
，经过n年后绿化总面积为
，求证：
．
（2）至少需要多少年的努力，才能使全县的绿化率超过60%？（年取整数，lg2=0.3010）
（1）设全县面积为1，1998年底绿化总面积为
，经过n年后绿化总面积为，求证：．（2）至少需要多少年的努力，才能使全县的绿化率超过60%？（年取整数，lg2=0.3010）
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4 . 如图，在锐角
中，
是外心，
于点
，
、
是两条高，
，
、
分别为外接圆、内切圆的半径.求证：
是、的等差中项.
中，是外心，于点，、是两条高，，、分别为外接圆、内切圆的半径.求证：是、的等差中项.
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5 . 已知数列
满足
，
．
（1）求数列的通项；
（2）求证：
．
满足，．（1）求数列
的通项；（2）求证：
．
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6 . 将8128的小于自身的全体正约数从小到大排列成
.求证： 
.
.求证： .
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7 . 设实数
、
，求证：对任意正整数
，都有
.
、，求证：对任意正整数，都有.
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8 . 已知
，
.将从
到
的所有
位数按任意顺序排成一行，记所得到的数为
.求证：不是完全平方数.
，.将从到的所有位数按任意顺序排成一行，记所得到的数为.求证：不是完全平方数.
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9 . 设
．求证：
．
．求证：．
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