名校
1 . 若一个两位正整数
的个位数为4，则称为“好数”.
(1)求证：对任意“好数”
一定为20的倍数；
(2)若
，且
为正整数，则称数对
为“友好数对”，规定：
，例如
，称数对
为“友好数对”，则
，求小于70的“好数”中，所有“友好数对”的
的最大值.
的个位数为4，则称为“好数”.(1)求证：对任意“好数”
一定为20的倍数；(2)若
，且为正整数，则称数对为“友好数对”，规定：，例如，称数对为“友好数对”，则，求小于70的“好数”中，所有“友好数对”的的最大值.
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2023-09-20更新
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2036次组卷
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6卷引用：吉林省长春市十一高中2024届高三下学期数学模拟试题
名校
2 . 阅读下面材料，完成本题．
材料：初等数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质．如果算式
中
，则
整除
，记作
（其中a，b，q，r均为整数）．若整数与整数分别除以整数
，所得余数相同，则称与模同余，记作
，设
是与的最大公因数．我们把形如
的方程称为关于
的一次同余方程，该方程有解的充分必要条件是
．据此，请完成：若关于的一次同余方程
有解，则的值可以为（ ）
材料：初等数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质．如果算式
中，则整除，记作（其中a，b，q，r均为整数）．若整数与整数分别除以整数，所得余数相同，则称与模同余，记作，设是与的最大公因数．我们把形如的方程称为关于的一次同余方程，该方程有解的充分必要条件是．据此，请完成：若关于的一次同余方程有解，则的值可以为（ ）| A．72 | B．74 | C．76 | D．78 |
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3 . 已知
，
，…，
是一列互不相等的正整数.若任意改变这
个数的顺序，并记为
，
，…，
.则数
的值必为（ ）.
，，…，是一列互不相等的正整数.若任意改变这个数的顺序，并记为，，…，.则数的值必为（ ）.A． | B． | C．奇数 | D．偶数 |
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4 . 回答下列两个问题, 并给出例子或证明.
(1)对任意正整数, 在平面上是否都存在个不在同一条直线上的点, 使得任意两点间的距离都为正整数?
(2)在平面上是否存在两两不同的无限点列组成的点集
, 使得内所有点不在同一条直线上, 且内任意两点间的距离为正整数?
(1)对任意正整数
, 在平面上是否都存在个不在同一条直线上的点, 使得任意两点间的距离都为正整数?(2)在平面上是否存在两两不同的无限点列组成的点集
, 使得内所有点不在同一条直线上, 且内任意两点间的距离为正整数?
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5 . 设
为一个整数数列，并且满足：对任意的（
），均有
，且
.求最小的正整数
，使得
.
为一个整数数列，并且满足：对任意的（），均有，且.求最小的正整数，使得.
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6 . 求所有的正整数，使得
，其中
是的不同的4个最小的正整数因子．
，使得，其中是的不同的4个最小的正整数因子．
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7 . 求满足
的最小正整数.
的最小正整数.
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8 . 求方程
的所有非负整数解.
的所有非负整数解.
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9 . 已知数列的通项公式为
.求所有的正整数，使得数列的前项能分成两部分，这两部分的和相等.
的通项公式为.求所有的正整数，使得数列的前项能分成两部分，这两部分的和相等.
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10 . 已知
，设实数
、
、
、
、
、
满足
（i）、、
且不全为0；
（ii）、、
；
（iii）若
，则
.
若所有形如
和
的数均不为2014的倍数，则称集合
为“好集”.求好集所含元素个数的最大值.
，设实数、、、、、满足（i）
、、且不全为0；（ii）
、、；（iii）若
，则.若所有形如
和的数均不为2014的倍数，则称集合为“好集”.求好集所含元素个数的最大值.
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