1 . 已知椭圆：过点和点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于不同的两点，，记线段的中点为，是否存在实数，使得？若存在，求出实数；若不存在，请说明理由

2 . 已知椭圆的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形,且其周长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过点的直线与椭圆相交于两点,点关于原点的对称点为,若点总在以线段为直径的圆内,求的取值范围.

3 . 如图,M在椭圆C: 上,经过点P的直线交椭圆于E,F(E在F上方),直线MP交椭圆于N.
(1)求椭圆C的方程
(2)若直线的斜率为，求的值;
(3)若求直线的方程

4 . 如图，椭圆的左、右焦点为，右顶点为，上顶点为，若，与轴垂直，且.
（1）求椭圆方程；
（2）过点且不垂直于坐标轴的直线与椭圆交于两点，已知点，当时，求满足的直线的斜率的取值范围.

5 . 已知椭圆的离心率为，半焦距为，且，经过椭圆的左焦点，斜率为的直线与椭圆交于A，两点，为坐标原点．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)设，延长，分别与椭圆交于，两点，直线的斜率为，求证：为定值．

6 . 如图，设椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为A，过点A与AF₂垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且0，若过 A，Q，F₂三点的圆恰好与直线相切，过定点 M（0，2）的直线与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H之间）.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线的斜率，在x轴上是否存在点P（，0），使得以PG，PH为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出的取值范围；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）若实数满足，求的取值范围．

7 . 已知是椭圆和双曲线的公共顶点，其中，是双曲线上的动点，是椭圆上的动点（都异于），且满足（），设直线的斜率分别为，若，则_______.

8 . 已知椭圆的中心在原点，离心率为，右焦点到直线的距离为2.
（1）求椭圆的方程；
（2）椭圆下顶点为，直线（）与椭圆相交于不同的两点，当时，求的取值范围.

9 . 已知椭圆，过点的直线与椭圆交于不同两点（在之间），有以下四个结论：
①若，则的取值范围是；
②若A椭圆的右顶点，且的角平分线是轴，则直线的斜率为；
③若以为直径的圆过原点，则直线的斜率为；
④若，椭圆变成曲线，点变成，曲线与轴交于点，则直线与的交点必在一条定直线上.
其中正确的序号是________.

10 . 在直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为、， 也是抛物线的焦点，点为与在第一象限的交点，且.
（1）求的方程；
（2）平面上的点满足，直线，且与交于、两点，若，求直线的方程.