1 . 已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．
（1）证明：；
（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．

2 . 已知点P为曲线C上任意一点，，直线、的斜率之积为．
(1)求曲线的轨迹方程；；
(2)是否存在过点的直线与椭圆交于不同的两点、，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

3 . 如图，直线与椭圆交于两点，与轴交于点，为弦的中点，直线分别与直线和直线交于两点.

(1)求直线的斜率和直线的斜率之积；
(2)分别记和的面积为，是否存在正数，使得若存在，求出的取值；若不存在，说明理由.

4 . 已知椭圆的左右顶点，，椭圆上不同于，的点，，两直线的斜率之积为，面积最大值为.

（1）求椭圆的方程；
（2）若椭圆的所有弦都不能被直线垂直平分，求的取值范围．

5 . 已知圆的方程为， 椭圆的方程为（）,其离心率为，如果与相交于A、B两点，且线段恰为圆的直径.

（1）求直线的方程和椭圆的方程；
（2）如果椭圆的左，右焦点分别是，椭圆上是否存在点P，使得，如果存在，请求点P的坐标，如果不存在，请说明理由.

6 . 已知椭圆的离心率为，过左焦点的直线与椭圆交于两点．
（1）若线段的中点为，求椭圆的方程；
（2）过点与椭圆只有一个公共点的直线为，过点与垂直的直线为，求证与交点在定直线上．