1 . 对于集合，定义.对于两个集合、，定义运算．
（1）若，，写出与的值，并求出；
（2）证明：；

2 . 给定的正整数n（n≥2），若集合A＝{a₁，a₂，…，a_n}⊆M满足a₁+a₂+…+a_n＝a₁•a₂•…a_n，则称A为集合M的n元“美集”．
（1）写出一个实数集R的2元“美集“；
（2）证明：不存在自然数集N的2元“美集”；
（3）是否在自然数集N的3元“美集”？若存在，请求出所有自然数集N的3元“美集“；若不存在，请说明理由．

3 . 已知集合，集合，集合，且集合满足，.
（1）求实数的值.
（2）对集合，其中.定义由中的元素构成两个相应的集合，，其中是有序实数对，集合和中的元素的个数分别为和，若对任意的总有，则称集合具有性质.
①请检验集合与是否具有性质，并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和.
②试判断和的大小关系，并证明你的结论.

4 . 已知集合为非空数集，定义，.
（1）若集合，直接写出集合及；
（2）若集合，，且，求证；
（3）若集，且，求集合中元素的个数的最大值.

6 . 已知集合，其中．对于，，定义与之间的距离为．
（1）记，写出所有使得；
（2）记，、，并且，求的最大值；
（3）设，中所有不同元素间的距离的最小值为，记满足条件的集合的元素个数的最大值为，求证：．

8 . 设为正整数，若满足：①；②对于，均有；则称具有性质.对于和，定义集合.
（1）设，若具有性质，写出一个及相应的；
（2）设和具有性质，那么是否可能为，若可能，写出一组和，若不可能，说明理由；
（3）设和具有性质，对于给定的，求证：满足的有偶数个.

9 . 对于正整数集合（，），如果去掉其中任意一个元素（）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”．
（Ⅰ）判断集合是否是“和谐集”（不必写过程）；
（Ⅱ）求证：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数；
（Ⅲ）若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值．

10 . 已知M是满足下列条件的集合：①，；②若，则；③若且，则.
（1）判断是否正确，说明理由；
（2）证明：；
（3）证明：若，则且.