1 . 在数列的相邻两项之间插入此两项的和形成新的数列,再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造,第一次得到数列1,3,2;第二次得到数列1,4,3,5,2;…;第次得到数列,记,数列的前项和为,则( )
A. | B. |
C. | D. |
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2 . “角股猜想”是“四大数论世界难题”之一,至今无人给出严谨证明.“角股运算”指的是任取一个自然数,如果它是偶数,我们就把它除以2;如果它是奇数,我们就把它乘3再加上1.在这样一个变换下,我们就得到了一个新的自然数.如果反复使用这个变换,我们就会得到一串自然数,该猜想就是:反复进行角股运算后,最后结果为1.我们记一个正整数经过次角股运算后首次得到1(若经过有限次角股运算均无法得到1,则记,以下说法正确的是( )
A.,则所有可能的取值集合为 |
B.在其定义域上不单调,有最小值,无最大值 |
C.对任意正整数,都有 |
D.是真命题,是假命题 |
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3 . (多选)若正整数数列:,,…,()满足:若对任意的正整数k(),都有,则称该数列为“数列”.下列关于“数列”的说法中正确的有( )
A.若数列8,x,4,y,8为“数列”,则有序数组有3个 |
B.若数列1,m,n,8为“数列”,则的最大值为6 |
C.若数列,,…,()为“数列”,则使的n的最大值为16 |
D.若数列,,…,()为“数列”,且,则满足的n的最大值为10 |
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解题方法
4 . 对于无穷数列,定义:,称数列是的“倒差数列”,下列叙述正确的有( )
A.若数列单调递增,则数列单调递增 |
B.若数列是常数列,,则数列是周期数列 |
C.若,则数列没有最小值 |
D.若,则数列有最大值 |
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5 . 在数列中,若存在常数t,使得恒成立,则称数列为“数列”若数列为“数列”,且,数列为等差数列,且则_____ (写出通项公式)
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6 . 任取一个正整数,若是奇数,就将该数乘3再加上1;若是偶数,就将该数除以2.反复进行上述两种运算,经过有限次步骤后,必进入循环图,这就是数学史上著名的“冰霓猜想”(又称“角谷猜想”等).已知数列满足:,则( )
A.1 | B.2 | C.3 | D.4 |
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7 . 已知是由正整数组成的无穷数列,该数列前项的最大值记为,即;前项的最小值记为,即,令(),并将数列称为的“生成数列”.
(1)若,求其生成数列的前项和;
(2)设数列的“生成数列”为,求证:;
(3)若是等差数列,证明:存在正整数,当时,,,,是等差数列.
(1)若,求其生成数列的前项和;
(2)设数列的“生成数列”为,求证:;
(3)若是等差数列,证明:存在正整数,当时,,,,是等差数列.
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8 . 已知数列:,,…,(,)具有性质:对任意,(),与两数中至少有一个是该数列中的一项,为数列的前项和.
(1)分别判断数列0,1,3与数列0,1,3,4是否具有性质;
(2)证明:,且;
(3)证明:当时,,,,,成等差数列.
(1)分别判断数列0,1,3与数列0,1,3,4是否具有性质;
(2)证明:,且;
(3)证明:当时,,,,,成等差数列.
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解题方法
9 . 如果项数有限的数列满足,则称其为“对称数列”,设是项数为的“对称数列”,其中,,,是首项为,公差为的等差数列,则( )
A.若,则 | B.若,则所有项的和为 |
C.当时,所有项的和最大 | D.所有项的和不可能为 |
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10 . 在数列中,若存在常数,使得()恒成立,则称数列为“数列”.
(1)判断数列1,2,3,7,43是否为“数列”;
(2)若,试判断数列是否为“数列”,请说明理由;
(3)若数列为“数列”,且,数列为等比数列,满足求数列的通项公式和的值.
(1)判断数列1,2,3,7,43是否为“数列”;
(2)若,试判断数列是否为“数列”,请说明理由;
(3)若数列为“数列”,且,数列为等比数列,满足求数列的通项公式和的值.
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