名校
解题方法
1 . 若数列是等差数列,则称数列为调和数列.若实数、、依次成调和数列,则称是和的调和中项.
(1)求和4的调和中项;
(2)已知调和数列,,,求数列的前项和.
(1)求和4的调和中项;
(2)已知调和数列,,,求数列的前项和.
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2 . 二阶递推公式特征方程是一种常见的数学方法,主要用于求解二阶线性递推数列的通项公式.例如:一个数列满足递推关系,且,为给定的常数(有时也可以是,为给定的常数),特征方程就是将上述的递推关系转化为关于的二次特征方程:,若,是特征方程的两个不同实根,我们就可以求出数列的通项公式,其中和是两个常数,可以由给定的,(有时也可以是,)求出.
(1)若数列满足:,,,求数列的通项公式;
(2)若,试求的十分位数码(即小数点后第一位数字),并说明理由;
(3)若定义域和值域均为的函数满足:,求的解析式
(1)若数列满足:,,,求数列的通项公式;
(2)若,试求的十分位数码(即小数点后第一位数字),并说明理由;
(3)若定义域和值域均为的函数满足:,求的解析式
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3 . 对于数列,定义“变换”:将数列变换成数列,其中,且.这种“变换”记作,继续对数列进行“变换”,得到数列,依此类推,当得到的数列各项均为0时变换结束.
(1)写出数列,经过6次“变换”后得到的数列;
(2)若不全相等,判断数列经过不断的“变换”是否会结束,并说明理由;
(3)设数列经过次“变换”得到的数列各项之和最小,求的最小值.
(1)写出数列,经过6次“变换”后得到的数列;
(2)若不全相等,判断数列经过不断的“变换”是否会结束,并说明理由;
(3)设数列经过次“变换”得到的数列各项之和最小,求的最小值.
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4 . 若数列满足,其中,则称数列为数列.已知数列为数列,当时.
(1)求证:数列是等差数列,并写出数列的通项公式;
(2),求.
(1)求证:数列是等差数列,并写出数列的通项公式;
(2),求.
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解题方法
5 . 对于数列,若存在,使得对任意,总有,则称为“有界变差数列”.
(1)若各项均为正数的等比数列为有界变差数列,求其公比q的取值范围;
(2)若数列满足,且,证明:是有界变差数列;
(3)若,均为有界变差数列,且,证明:是有界变差数列.
(1)若各项均为正数的等比数列为有界变差数列,求其公比q的取值范围;
(2)若数列满足,且,证明:是有界变差数列;
(3)若,均为有界变差数列,且,证明:是有界变差数列.
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6 . 已知各项均不为0的数列满足(是正整数),,定义函数,是自然对数的底数.
(1)求证:数列是等差数列,并求数列的通项公式;
(2)记函数,其中.
(i)证明:对任意,;
(ii)数列满足,设为数列的前项和.数列的极限的严格定义为:若存在一个常数,使得对任意给定的正实数(不论它多么小),总存在正整数m满足:当时,恒有成立,则称为数列的极限.试根据以上定义求出数列的极限.
(1)求证:数列是等差数列,并求数列的通项公式;
(2)记函数,其中.
(i)证明:对任意,;
(ii)数列满足,设为数列的前项和.数列的极限的严格定义为:若存在一个常数,使得对任意给定的正实数(不论它多么小),总存在正整数m满足:当时,恒有成立,则称为数列的极限.试根据以上定义求出数列的极限.
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7 . 设是各项为正的无穷数列,若对于,(d:为非零常数),则称数列为等方差数列.那么( )
A.若是等方差数列,则是等差数列 |
B.数列为等方差数列 |
C.若是等方差数列,则数列中存在小于1的项 |
D.若是等方差数列,则存在正整数n,使得 |
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解题方法
8 . 设数列的前n项和为,若对任意的,都是数列中的项,则称数列为“T数列”.对于命题:①存在“T数列”,使得数列为公比不为1的等比数列;②对于任意的实数,都存在实数,使得以为首项、为公差的等差数列为“T数列”.下列判断正确的是( )
A.①和②均为真命题 | B.①和②均为假命题 |
C.①是真命题,②是假命题 | D.①是假命题,②是真命题 |
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9 . 已知数列为有穷数列,且,若数列满足如下两个性质,则称数列为的增数列:
①;
②对于,使得的正整数对有个.
(1)写出所有4的1增数列;
(2)当时,若存在的6增数列,求的最小值.
①;
②对于,使得的正整数对有个.
(1)写出所有4的1增数列;
(2)当时,若存在的6增数列,求的最小值.
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10 . 在数列的相邻两项之间插入此两项的和形成新的数列,再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造,第一次得到数列1,3,2;第二次得到数列1,4,3,5,2;…;第次得到数列,记,数列的前项和为,则( )
A. | B. |
C. | D. |
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