1 . 设数列的前项和为．若对任意，总存在，使得，则称是“数列”．
(1)若数列，判断是不是“数列”，并说明理由；
(2)设是等差数列，其首项，公差，且是“数列”，
①求的值；
②设数列，设数列的前项和为，若对任意成立，求实数的取值范围．

2 . 定义：在数列中，若满足（   为常数），称为“等差比数列”，已知在“等差比数列”中，，则等于（ ）

A．4×20162－1

B．4×20172－1

C．4×20182－1

D．4×20182

3 . 现有m(m≥2)个不同的数P₁､P₂､P₃､…､P_n.将他们按一定顺序排列成一列.对于其中的两项P_i和P_j，若满足：1≤i<j≤m且P_i>P_j(即前面某数大于后面某数)，则称P_i与P_j构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列(n+1)､n､(n﹣1)､…3､2､1的逆序数为a_n.如排列2､1的逆序数a₁=1，排列3､2､1的逆序数a₂=3.
（1）求a₃､a₄､a₅；
（2）求a_n的表达式；
（3）令，证明b₁+b₂+…b_n<2n+3，n=1，2，….

4 . 定义为n个正数的“调和倒数”．若数列的前项的“调和倒数”为，又，则______．

5 . 已知只有50项的数列{a_n}满足下列三个条件：
①a_i∈{﹣1，0，1}，i＝1，2，…，50；
②a₁+a₂+…+a₅₀＝9；
③101≤（a₁+1）²+（a₂+1）²+…+（a₅₀+1）²≤111．
对所有满足上述条件的数列{a_n}，共有k个两两不同的值，则k＝（　　）

A．10

B．11

C．6

D．7

6 . 定义为个正数的“均倒数”，若已知正整数数列的前项的“均倒数”为，又，则（       ）

A．

B．

C．

D．

7 . 若数列，满足，则称数列是数列的“偏差数列”．
（1）若常数列是数列的“偏差数列”，试判断数列是否一定为等差数列，并说明理由；
（2）若无穷数列是各项均为正整数的等比数列，且，数列为数列的“偏差数列”，数列为递减数列，求数列的通项公式；
（3）设，数列为数列的“偏差数列”，、且，若，（）对任意的恒成立，求的最小值．

8 . 设为正整数，区间（其中，）同时满足下列两个条件：
①对任意，存在使得；
②对任意，存在，使得（其中）．
（Ⅰ）判断能否等于或；（结论不需要证明）．
（Ⅱ）求的最小值；
（Ⅲ）研究是否存在最大值，若存在，求出的最大值；若不存在，说明理由．

9 . 在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“Z拓展”.如数列1，2第1次“Z拓展”后得到数列1，3，2，第2次“Z拓展”后得到数列1，4，3，5，2.设数列a，b，c经过第n次“Z拓展”后所得数列的项数记为P_n，所有项的和记为S_n.
（1）求P₁，P₂；
（2）若P_n≥2020，求n的最小值；
（3）是否存在实数a，b，c，使得数列{S_n}为等比数列？若存在，求a，b，c满足的条件；若不存在，说明理由.

10 . 给定个不同的数、、、、，它的某一个排列的前项和为，该排列中满足的的最大值为．记这个不同数的所有排列对应的之和为．
（1）若，求；
（2）若，.
①证明：对任意的排列，都不存在使得；
②求（用表示）．