1 . 设集合
是一个非空数集，对任意
，定义
，称
为集合的一个度量，称集合为一个对于度量而言的度量空间，该度量空间记为
.
定义1：若
是度量空间上的一个函数，且存在
，使得对任意，均有：
，则称
是度量空间上的一个“压缩函数”.
定义2：记无穷数列
为
，若是度量空间上的数列，且对任意正实数
，都存在一个正整数
，使得对任意正整数
，均有
，则称是度量空间上的一个“基本数列”.
(1)设
，证明：是度量空间
上的一个“压缩函数”；
(2)已知
是度量空间
上的一个压缩函数，且
，定义
，
，证明：为度量空间上的一个“基本数列”.
是一个非空数集，对任意，定义，称为集合的一个度量，称集合为一个对于度量而言的度量空间，该度量空间记为.定义1：若
是度量空间上的一个函数，且存在，使得对任意，均有：，则称是度量空间上的一个“压缩函数”.定义2：记无穷数列
为，若是度量空间上的数列，且对任意正实数，都存在一个正整数，使得对任意正整数，均有，则称是度量空间上的一个“基本数列”.(1)设
，证明：是度量空间上的一个“压缩函数”；(2)已知
是度量空间上的一个压缩函数，且，定义，，证明：为度量空间上的一个“基本数列”.
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2 . 如果数列
，其中
，对任意正整数
都有
，则称数列
为数列
的“接近数列”．已知数列
为数列
的“接近数列”．
(1)若
，求
的值；
(2)若数列是等差数列，且公差为
，求证：数列是等差数列；
(3)若数列满足
，且
，记数列
的前项和分别为
，试判断是否存在正整数，使得
？若存在，请求出正整数的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：
）
，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”．已知数列为数列的“接近数列”．(1)若
，求的值；(2)若数列
是等差数列，且公差为，求证：数列是等差数列；(3)若数列
满足，且，记数列的前项和分别为，试判断是否存在正整数，使得？若存在，请求出正整数的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：）
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2024-04-10更新
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1050次组卷
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2卷引用：河北省廊坊市香河县第一中学2023-2024学年高三下学期模拟考试数学试卷
名校
3 . 意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时发现数列1，1，2，3，5，8，13，……数列中的每一项称为斐波那契数，记作
．已知
．则（ ）
．已知．则（ ）A． |
B． |
C．若斐波那契数除以4所得的余数按照原顺序构成数列，则 |
D．若 ．则 |
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4 . 在数列中，若存在常数
，使得
恒成立，则称数列为“
数列”．
(1)若
，试判断数列
是否为“数列”，请说明理由；
(2)若数列为“数列”，且
，数列为等比数列，且
，求数列的通项公式；
(3)若正项数列为“数列”，且
，
，证明：
．
中，若存在常数，使得恒成立，则称数列为“数列”．(1)若
，试判断数列是否为“数列”，请说明理由；(2)若数列
为“数列”，且，数列为等比数列，且，求数列的通项公式；(3)若正项数列
为“数列”，且，，证明：．
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2024-03-25更新
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1422次组卷
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3卷引用：河北省百师联盟2024届高三下学期开学摸底联考数学试题
5 . 已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是
，接下来的两项是
，再接下来的三项是
，依此类推，若该数列的前项和为
，若
，则称
为“好数对”，如
，
，则
都是“好数对”，当
时，第一次出现的“好数对”是
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6 . 已知为正整数，数列
，记
.对于数列
，总有
，则称数列为项
数列.若数列
，均为项数列，定义数列
，其中
.
(1)已知数列
，求
的值；
(2)若数列
均为项数列，求证：
；
(3)对于任意给定的正整数，是否存在项数列
，使得
，并说明理由.
为正整数，数列，记.对于数列，总有，则称数列为项数列.若数列，均为项数列，定义数列，其中.(1)已知数列
，求的值；(2)若数列
均为项数列，求证：；(3)对于任意给定的正整数
，是否存在项数列，使得，并说明理由.
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7 . 已知等差数列的前项和为，
，且
．
(1)求数列的通项公式；
(2)设
，数列的前项和为
，定义
为不超过
的最大整数，例如
，
，求数列
的前项和
．
（说明：
）
的前项和为，，且．(1)求数列
的通项公式；(2)设
，数列的前项和为，定义为不超过的最大整数，例如，，求数列的前项和．（说明：
）
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23-24高三上·北京通州·期末
名校
解题方法
8 . 已知数列
为有穷正整数数列.若数列A满足如下两个性质，则称数列A为m的k减数列：
①
；
②对于
，使得
的正整数对
有k个.
(1)写出所有4的1减数列；
(2)若存在m的6减数列，证明：
；
(3)若存在2024的k减数列，求k的最大值.
为有穷正整数数列.若数列A满足如下两个性质，则称数列A为m的k减数列：①
；②对于
，使得的正整数对有k个.(1)写出所有4的1减数列；
(2)若存在m的6减数列，证明：
；(3)若存在2024的k减数列，求k的最大值.
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2024-01-25更新
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2837次组卷
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7卷引用：信息必刷卷01
名校
9 . 意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即
，故此数列称为斐波那契数列，又称为“兔子数列”，其通项公式为
，设是不等式
的正整数解，则的最小值为（ ）
，故此数列称为斐波那契数列，又称为“兔子数列”，其通项公式为，设是不等式的正整数解，则的最小值为（ ）| A．6 | B．7 | C．8 | D．9 |
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2024-01-12更新
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666次组卷
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5卷引用：河北省廊坊市部分高中2024届高三上学期期末数学试题
河北省廊坊市部分高中2024届高三上学期期末数学试题（已下线）考点15 数列中的数学文化 2024届高考数学考点总动员【练】广东省汕头市金山中学2024届高三上学期第一次模拟考试数学试题（已下线）第1讲：数列的函数性质应用【练】（已下线）压轴题数列新定义题(九省联考第19题模式）练
名校
解题方法
10 . 已知是正项数列的前项和，满足
，
.
(1)若
，求正整数
的值；
(2)若
，在
与
之间插入
中从
开始的连续
项构成新数列，即为
，求的前30项的和.
是正项数列的前项和，满足，.(1)若
，求正整数的值；(2)若
，在与之间插入中从开始的连续项构成新数列，即为，求的前30项的和.
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2023-12-20更新
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758次组卷
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2卷引用：河北省部分高中2024届高三上学期11月联考数学试题
