4 . 已知是无穷数列.给出两个性质：①对于中任意两项，在中都存在一项，使得；②对于中任意项，在中都存在两项，使得.
（1）若，判断数列是否满足性质①，说明理由；
（2）若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
（3）若是递增数列，，且同时满足性质①和性质②，证明：为等差数列.
.

5 . 若对于数列{a_n}中的任意两项a_i，a_j（i＞j），在{a_n}中都存在一项a_m，使得a_m＝，则称数列{a_n}为“X数列”，若对于数列{a_n}中的任意一项a_n（n≥3），在{a_n}中都存在两项a_k，a_l（k＞l），使得a_n＝，则称数列{a_n}为“Y数列”．
（1）若数列{a_n}为首项为1公差也为1的等差数列，判断数列{a_n}是否为“X数列”，并说明理由；
（2）若数列{a_n}的前n项和S_n＝2ⁿ﹣1（n∈N*），求证：数列{a_n}为“Y数列”；
（3）若数列{a_n}为各项均为正数的递增数列，且既为“X数列”，又为“Y数列”，求证：a₁，a₂，a₃，a₄成等比数列．

6 . 已知项数为的数列为递增数列，且满足，若，且，则称为的“伴随数列”.
（1）数列是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”若不存在，请说明理由；
（2）若为的“伴随数列"，证明: ；
（3）已知数列存在“伴随数列，且，求的最大值.

7 . 已知有穷数列.定义数列的“伴生数列”：，其中，规定
（1）写出下列数列的“伴生数列”：
   ①

   ②

（2）已知数列的“伴生数列”，且满足.若数列中存在相邻两项为，求证：数列中每一项均为.

8 . 斐波那契数列（ Fibonaccisequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多•斐波那契（ Leonardodalibonace）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．记斐波那契数列为{a_n}，数列{a_n}满足a₁＝1，a₂＝1，a_n+1＝a_n+a_n﹣1（n≥2，n∈N*）．
（1）若{a_n+1﹣pa_n）（p＜0）是等比数列，求实数p的值；
（2）求斐波那契数列{a_n}的通项公式；
（3）求证：从第二项起，每个偶数项的平方都比其前后两项之积少1．

9 . 对于项数为m（m∈N*，m＞1）的有穷正整数数列{a_n}，记b_k＝min{a₁，a₂，…，a_k}（k＝1，2，…，m），即b_k为a₁，a₂，…，a_k中的最小值，设由b₁，b₂，…，b_m组成数列{b_n}称为{a_n}的“新型数列”．
（1）若数列{a_n}为2019，2020，2019，2018，2017，请写出{a_n}的“新型数列”{b_n}的所有项；
（2）若数列{a_n}满足且其对应的“新型数列”{b_n}的项数m∈[21，30]，求{b_n}的所有项的和；
（3）若数列{a_n}的各项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求符合条件的{a_n}及其对应的“新型数列”{b_n}．

10 . 已知数列是公比为2的等比数列，其前n项和为，
（1）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充到上述题干中．求数列的通项公式，并判断此时数列是否满足条件P：任意m，n，均为数列中的项，说明理由；
（2）设数列满足，n，求数列的前n项和．
注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．