1 . 小云家后院闲置的一块空地是扇形，计划在空地挖一个矩形游泳池，有如下两个方案可供选择，经测量，，.
   
(1)在方案1中，设，，求，满足的关系式；
(2)试比较两种方案，哪一种方案游泳池面积的最大值更大，并求出该最大值.

2 . 随着智能手机的迅速普及，外卖点餐也开始成为不少人日常饮食中的一部分，但方便群众生活的同时，部分外卖派送人员诸如服务态度差､派送不及时､包装损坏等一系列问题也让市民感到不满，影响了整个行业的持续健康发展.市外卖行业协会为掌握本市外卖派送人员的服务质量水平，随机选取了名外卖派送人员，并针对他们的服务质量细化打分(满分分)，根据他们的服务质量得分分成以下组：，，，…，，统计得出以下频率分布直方图：

（1）求这名外卖派送人员服务质量的平均得分(每组数据以区间的中点值为代表)；
（2）市外卖派送人员的服务质量得分(单位：分)近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数.若市恰有万名外卖派送人员，试估计这些外卖派送人员服务质量得分位于区间的人数；
（3）为答谢外卖派送人员积极参与调查，该协会决定给所抽取的这人一定的现金补助，并准备了两种补助方案.方案一：按每人服务质量得分进行补助，每分补助元；方案二：以抽奖的方式进行补助，得分不低于中位数的可抽奖次，反之只能抽奖次.在每次抽奖中，若中奖，则补助元/次，若不中奖，则只补助元/次，且假定每次中奖的概率均为.问：哪一种补助方案补助总金额更低.
参考数据：若随机变量Z服从正态分布，即，则，.

3 . 第五代移动通信技术（5^th Generation Mobile Communication Technology，简称5G）是具有高速率、低时延和大连接特点的新一代宽带移动通信技术，5G通讯设施是实现人机物互联的网络基础设施。2023年5月17日，中国电信、中国移动、中国联通、中国广电宣布正式启动全球首个5G异网漫游试商用．此前，中国移动、中国联通和中国电信三大运营商分别公布了其5G套餐价格．下面是中国移动公布的5G套餐价格：

月费（元人民币）	128	198	298	398	598
流量（GB）	30	60	100	150	300
语音通话（分钟）	200	500	800	1200	3000
备注	超出套餐流量5元/GB，满15元后按照3元/GB计费

中国移动公司某营业厅随机统计了100名近4个月使用5G套餐客户实际月使用流量情况，并绘制了如图所示的频率分布直方图．（假设每位客户每月使用流量一样，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．
(1)求这100名5G套餐客户月使用流量的平均值；
(2)由频率分布直方图可以认为，中国移动5G套餐客户月使用流量近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，经计算得，若从中国移动所有5G套餐客户中随机抽取1000人，记为这1000人中月使用流量小于95GB的人数，求的数学期望；
(3)针对5G套餐客户，中国移动根据客户订购的套餐，将客户分为以下四种：

订购套餐流量（GB）	30	60	100	150	300
对应客户名称	普卡客户		银卡客户	金卡客户	钻石卡客户

假设月使用流量在GB的客户有一半人订购30GB套餐流量，另一半人订购60GB套餐流量，月使用流量在GB的客户都订购100GB套餐流量，月使用流量在GB的客户都订购150GB套餐流量，月使用流量在GB的客户都订购300GB套餐流量．
中国移动根据以上统计的100名客户情况，准备今年年底针对这些客户举办返利活动，有以下两种方案：
方案一：按分层抽样在银卡客户、金卡客户、钻石卡客户中共抽取24人，对这些客户免收一个月套餐费（超出套餐流量的部分也免费，客户不改变自己已经订购的套餐且每月使用流量不变）；
方案二：通过参与摸球游戏直接反现金给客户，规则如下：每次游戏客户从一个装有1个红球、3个白球（球的大小、形状一样）的不透明箱子中，有放回的摸3次球，每次摸一个球；若摸到红球的次数为1，则可得50元现金，若摸到红球的次数为2，则可得100元现金，摸到红球的次数为3，则可得150元现金，若没有摸到红球，则不返现；每位普卡客户可参与1次游戏，每位银卡客户可参与2次游戏，每位金卡客户可参与3次游戏，每位钻石卡客户可参与4次游戏（每次摸球的结果相互独立）．
试问，中国移动应选择哪种方案，投资更少？
附：若随机变量服从正态分布，则，，．

4 . 某专营店统计了最近天到该店购物的人数和时间第天之间的数据，列表如下：(1)由表中给出的数据，判断是否可用线性回归模型拟合人数与时间之间的关系？（若，则认为线性相关程度高，可用线性回归模型拟合；否则，不可用线性回归模型拟合.计算时精确到）
(2)该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：方案一，购物金额每满元可减元；方案二，购物金额超过元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打折，中奖两次打折，中奖三次打折.某顾客计划在此专营店购买一件价值元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析，选哪种方案更优惠？
参考数据：.附：相关系数.

5 . 洗衣服是人们日常生活中的一件极普通但又不可或缺的事.对于一件用洗衣粉已搓洗好而即将进入漂洗阶段的衣服，如果用定量的清水来漂洗它，问对清水分配使用的不同，对最终漂洗出来的衣服的干净程度有影响吗？为此，我们研究漂洗一块毛巾的情形，提出以下假设：①漂洗前和每一次漂洗拧干后，毛巾上总残留清水b克；②每一次漂洗时，毛巾上残留的污物会均匀地溶解在漂洗和残留的清水里，污物则按浓度比例（注：浓度比例）随着拧走的水而去除，剩余污物留在残留的清水中；③符号假设：用来漂洗的清水总质量为M克，漂洗之前毛巾上的初始污物质量为克，现在，有以下两种方案：方案一：一次性用完全部的清水去漂洗毛巾；方案二：把清水均匀地分两次，对毛巾进行漂洗.
(1)如果采用方案一，求漂洗拧干后的毛巾中污物剩余质量；
(2)如果采用方案二，设第一次漂洗之后毛巾上残留的污物质量为克，第二次漂洗之后毛巾上残留的污物质量为克，求两次漂洗后的毛巾中污物剩余质量；并对比哪种方案的效果好.

6 . 某饼庄推出两款新品月饼，分别为流心月饼和冰淇淋月饼，已知流心月饼的单价为x元，冰淇淋月饼的单价为y元，且.现有两种购买方案（）
方案一：流心月饼的购买数量为a个，冰淇淋月饼的购买数量为b个.
方案二：流心月饼的购买数量为b个，冰淇淋月饼的购买数量为a个.
(1)试问采用哪种购买方案花费更少？请说明理由.
(2)若a，b，x，y满足，，求这两种方案花费的差值S的最小值（注；差值较大值较小值）.

7 . 某商场举行有奖促销活动，顾客当日消费金额达366元及以上的均可抽奖.每次抽奖都是从装有2个红球，8个白球的箱子中一次性取出2个小球，若取出2个红球，得200元本商场购物券；若取出1个红球和1个白球，得80元本商场购物券；若取出2个白球，得10元本商场购物券.
(1)求顾客抽一次奖获得购物券金额的分布列；
(2)为吸引更多的顾客，现在有两种改进方案，甲方案：在原方案上加一个红球和一个白球，其他不变.乙方案：在原方案的购物券上各加10元，其他不变；若你是顾客，你希望采用哪种方案.

8 . 教育储蓄是指个人按国家有关规定在指定银行开户、存入规定数额资金、用于教育目的的专项储蓄，是一种专门为学生支付非义务教育所需教育金的专项储蓄，储蓄存款享受免征利息税的政策.若你的父母在你12岁生日当天向你的银行教育储蓄账户存入1000元，并且每年在你生日当天存入1000元，连续存6年，在你十八岁生日当天一次性取出，假设教育储蓄存款的年利率为10%.
(1)在你十八岁生日当天时，一次性取出的金额总数为多少？（参考数据：）
(2)当你取出存款后，你就有了第一笔启动资金，你可以用你的这笔资金做理财投资.如果现在有三种投资理财的方案：
①方案一：每天回报40元；
②方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
③方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.
你会选择哪种方案？请说明你的理由.

9 . 2022年是中国共产主义青年团成立100周年，某市团委决定举办一次共青团史知识竞赛．该市A县团委为此举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表A县参加市共青团史知识竞赛．已知A县甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为，，，通过初赛后再通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响．
(1)求这3人中至少有1人通过初赛的概率；
(2)求这3人中至少有1人参加市共青团史知识竞赛的概率；
(3)某品牌商赞助了A县的这次共青团史知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了两种奖励方案：
方案一：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖1次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖励1000元；
方案二：只参加了初赛的选手奖励300元，参加了决赛的选手奖励1000元．
若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好．

10 . 如图所示，用4个电子元件组成一个电路系统，有两种连接方案可供选择，当且仅当从A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，系统正常工作的概率称为该系统的可靠性.这4个电子元件中，每个元件正常工作的概率均为，且能否正常工作相互独立，当某元件不能正常工作时，该元件在电路中将形成断路.

(1)求方案①中从A到C的电路为通路的概率.（用p表示）；
(2)分别求出按方案①和方案②建立的电路系统正常工作的概率、（用p表示）；比较与的大小，并说明哪种连接方案更稳定可靠.