1 . 定义：给定函数，若存在实数、，当、、有意义时，总成立，则称函数具有“性质”.
(1)判别函数是否具有“性质”，若是，写出、的值，若不是，说明理由；
(2)求证：函数（且）不具有“性质”；
(3)设定义域为的奇函数具有“性质”，且当时，，若对，函数有5个零点，求实数的取值范围.

2 . 表示正整数a，b的最大公约数，若，且，，则将k的最大值记为，例如：，.
(1)求，，；
(2)已知时，.
（i）求；
（ii）设，数列的前n项和为，证明：.

3 . 若无穷数列满足，则称数列为数列，若数列同时满足，则称数列为数列．

(1)若数列为数列，，证明：当时，数列为递增数列的充要条件是；
(2)若数列为数列，，记，且对任意的，都有，求数列的通项公式．

4 . 在锐角中，为延长线上一点，过分别作，平行线，，若，，且的外接圆与交于点，证明：
(1)；
(2)．

5 . 已知有个连续正整数元素的有限集合（，），记有序数对，若对任意，，，且，A同时满足下列条件，则称为元完备数对.
条件①：；
条件②：.
(1)试判断是否存在3元完备数对和4元完备数对，并说明理由；
(2)试证明不存在8元完备数对.

6 . 临沂一中校本部19、20班数学小组在探究函数的性质时，发现通过函数的单调性、奇偶性和周期性，还无法准确地描述出函数的图象，例如函数和，虽然它们都是增函数，但是图像上却有很大的差异. 通过观察图像和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念. 已知定义：设连续函数f（x）的定义域为，如果对于内任意两数，都有，则称为上的凹函数；若，则为凸函数. 对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若f（x）是区间上的凹函数，则对任意的,有不等式恒成立（当且仅当时等号成立）. 小组成员通过询问数学竞赛的同学对他们研究的建议，得到了如下评注：在运用琴生不等式求多元最值问题，关键是构造函数.小组成员选择了反比例型函数和对数函数，研究函数的凹凸性.
(1)设，求W=的最小值.
(2)设为大于或等于1的实数，证明（提示：可设）
(3)若a>1，且当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

7 . 根据三角不等式我们可以证明：，当且仅当，，时等号成立．若等式对任意x，y，都成立，则符合要求的有序数组数量为（       ）

A．有且仅有6组	B．有且仅有12组
C．大于12组，但为有限多组	D．无穷多组

8 . 设圆的内接凸四边形的两条对角线、的交点为，过、两点的圆与过、两点的圆相交于两点和，且圆、圆分别与圆相交于另一点、．求证：直线、、或者共点或者相平行．
   

9 . 对于一个在区间上连续的可导函数，在上任取两点，，如果对于任意的与的算术平均值的函数值大于等于对于任意的与的函数值的算术平均值，则称该函数在上具有“M性质”.如果对于任意的与的几何平均值的函数值大于等于对于任意的与的函数值的几何平均值，则称在上具有“L性质”.
(1)如果函数在定义域内具有“M性质”，求的取值范围.
(2)对于函数，若该函数的一个驻点是，求，并且证明该函数在上具有“L性质”.
(3)设存在，使得.
①证明:取，则有
②若，设命题:函数具有“性质”，命題为严格减函数，试证明是的必要条件.
(可用结论:若函数在区间上可导，且在区间上连续，若有，且，则在区间上存在驻点)

10 . 数列与均为递增正整数数列.若对于B中任意一项，中存在唯一的一对，满足，则称B可以由A生成，记为.
(1)若，，，，，直接写出，，，中可以由A生成的数列；
(2)若，，求所有满足条件的数列A；
(3)证明：对于任意数列B，一定存在数列A，满足.