1 . 如图，已知圆O是
的外接圆，切线
交于点P，D是
的中点，K、L分别在线段
上，且满足
，连结
，求证：
．
的外接圆，切线交于点P，D是的中点，K、L分别在线段上，且满足，连结，求证：．
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2 . 如图，锐角的外接圆为
，D是A在上的射影，假设
，点M为
中点，
的角平分线与
交于点N，上一点P满足
．直线
与
交于点F，直线
与圆再交于点Q．直线与
的外接圆再交于点E．证明：
．
的外接圆为，D是A在上的射影，假设，点M为中点，的角平分线与交于点N，上一点P满足．直线与交于点F，直线与圆再交于点Q．直线与的外接圆再交于点E．证明：．
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3 . 已知
是两个整数集合，且对于任意整数
，存在唯一的
使得
.记
.证明：对任意的
，存在
，使得
.
是两个整数集合，且对于任意整数，存在唯一的使得.记.证明：对任意的，存在，使得.
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4 . 平面上有n个点，其中无三点共线，将这n个点两两相连，用红、黄、绿三种颜色染这些线段，且任意三点所成的三角形的三条边均恰好有两种颜色，证明：
．
．
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5 . 如图，已知锐角的外接圆为
，过B、C分别作圆的切线交于点P，P在直线、、
上的投影分别为D、E、F，
的外接圆与交于点N（不同于点D），A在上的投影为M．求证：
．
的外接圆为，过B、C分别作圆的切线交于点P，P在直线、、上的投影分别为D、E、F，的外接圆与交于点N（不同于点D），A在上的投影为M．求证：．
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6 . 已知圆与抛物线
交于A、B、C、D四个不同的点，且为圆的直径，线段和
的中点分别为M、N，求证：线段
在y轴上的投影长度为定值．
与抛物线交于A、B、C、D四个不同的点，且为圆的直径，线段和的中点分别为M、N，求证：线段在y轴上的投影长度为定值．
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7 . 证明：对任意正整数
，都存在正整数
和个互不相同的正整数
，使
是完全平方数．
，都存在正整数和个互不相同的正整数，使是完全平方数．
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8 . 如图，在锐角中，已知点D､E､F分别是点A､B､C在边､
､上的投影，
､
的内心分别为
､
，
､
的外心分别为
､
，证明：
.
中，已知点D､E､F分别是点A､B､C在边､､上的投影，､的内心分别为､，､的外心分别为､，证明：.
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9 . 如图，在平行四边形
中，
､
分别是边
上的点，线段
､
交于点P，
和
的外接圆的第二个交点Q位于
的内部.证明：
.
中，､分别是边上的点，线段､交于点P，和的外接圆的第二个交点Q位于的内部.证明：.
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10 . 已知非空正实数有限集合A，定义集合
，证明：
．
，证明：．
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