1 . 已知满足，E、F分别为延长线上的点，且的外接圆与交于不同于E的点K．证明：点K在的角平分线上．

2 . 有一个由n个城市组成的王国，其某些城市之间有道路相连，满足：（1）所有道路互不相交（若某两个城市间有道路相连，则称它们相邻）；（2）对任意两个城市都可以从一个城市出发沿道路走到另一个城市（中间可能通过其他城市）；（3）从任意一个城市出发，如果每一条道路至多利用一次的话，一旦离开则不可能回到出发的城市．国王进行如下改革：任命改革前的n位市长中的每一位改革后仍担任市长；任命改革前相邻城市的两位市长改革后仍在某两个相邻城市任市长．证明：存在一个城市改革前后由同一个人任市长，或者存在两个相邻城市改革前后互换市长．

3 . 设和为两组复数，满足：．求证：存在数组（其中），使得．

4 . 对每个正整数n，定义为从1到n中所有与n不互质的正整数的和.求证：若且，则是合数.

5 . 如图，在中，，且为边上的高，为边上的中线，为的平分线，与分别交于两点，与交于点，令．求证：，且是最好的界（即可以无限接近于）．

6 . 如图，锐角中，为边中点，内切圆与边切一点的内切圆与边切于点，若四边形为平行四边形，求证：在的平分线上.

7 . 设，记：，其中求和是对1，2，…，n的所有个k元组合进行的，求证：．

8 . 给定正整数.记，，2，3，….证明：对任意素数，存在无穷多个非负整数对，满足，，…，这100个数都能被整除，并且都不能被整除.

9 . 如图，在中，，G为重心，P为射线上一点，满足，Q为射线上一点，满足，证明：、的外接圆的另一个交点在上．

10 . 设函数满足对于每个，均存在一个，使得，其中，是f复合m次．设是满足上述条件的k中的最小值，证明：数列无界．