1 . 如果正整数n满足存在正整数a、b、c使得
，则称n为好数．求证：存在连续2020个正整数这2020个正整数都是好数．
注：对于正整数x，y，
表示x，y的最大公因数．
，则称n为好数．求证：存在连续2020个正整数这2020个正整数都是好数．注：对于正整数x，y，
表示x，y的最大公因数．
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2 . 如图，已知圆O是
的外接圆，切线
交于点P，D是
的中点，K、L分别在线段
上，且满足
，连结
，求证：
．
的外接圆，切线交于点P，D是的中点，K、L分别在线段上，且满足，连结，求证：．
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3 . 如图，已知锐角的外接圆为
，过B、C分别作圆的切线交于点P，P在直线、
、
上的投影分别为D、E、F，
的外接圆与交于点N（不同于点D），A在上的投影为M．求证：
．
的外接圆为，过B、C分别作圆的切线交于点P，P在直线、、上的投影分别为D、E、F，的外接圆与交于点N（不同于点D），A在上的投影为M．求证：．
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4 . 已知圆与抛物线
交于A、B、C、D四个不同的点，且为圆的直径，线段和
的中点分别为M、N，求证：线段
在y轴上的投影长度为定值．
与抛物线交于A、B、C、D四个不同的点，且为圆的直径，线段和的中点分别为M、N，求证：线段在y轴上的投影长度为定值．
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5 . 证明：对任意正整数
，都存在正整数
和
个互不相同的正整数
，使
是完全平方数．
，都存在正整数和个互不相同的正整数，使是完全平方数．
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6 . 如图，在锐角中，已知点D､E､F分别是点A､B､C在边､
､上的投影，
､
的内心分别为
､
，
､
的外心分别为
､
，证明：
.
中，已知点D､E､F分别是点A､B､C在边､､上的投影，､的内心分别为､，､的外心分别为､，证明：.
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7 . 如图，在平行四边形
中，
､
分别是边
上的点，线段
､
交于点P，
和
的外接圆的第二个交点Q位于
的内部.证明：
.
中，､分别是边上的点，线段､交于点P，和的外接圆的第二个交点Q位于的内部.证明：.
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8 . 已知非空正实数有限集合A，定义集合
，证明：
．
，证明：．
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9 . 已知
证明：存在
，使得
.
证明：存在，使得.
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10 . 已知满足
，E、F分别为延长线上的点，且
的外接圆与
交于不同于E的点K．证明：点K在
的角平分线上．
满足，E、F分别为延长线上的点，且的外接圆与交于不同于E的点K．证明：点K在的角平分线上．
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