解题方法
1 . (1)已知,求证;
(2)利用(1)的结论,证明:(且).
(2)利用(1)的结论,证明:(且).
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2 . 设,满足.
(1)证明:若,则当时,.
(2)若存在满足,证明.
(1)证明:若,则当时,.
(2)若存在满足,证明.
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3 . 设是正整数,整系数多项式满足.整系数多项式,,满足和,其中是一个不整除的素数.求证:的非常数项的系数均为的倍数.
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4 . 如图,是以为直径的固定的半圆弧,是经过点及上另一个定点的定圆,且的圆心位于内.设是的弧(不含端点)上的动点,,是上的两个动点,满足:在线段上,,位于直线的异侧,且.记的外心为.证明:
(1)点在的外接圆上;
(2)为定点.
(1)点在的外接圆上;
(2)为定点.
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5 . 设是正实数数列.
(1)若收敛,求证:存在严格递增的无界正实数数列满足收敛.
(2)若收敛,是否一定存在严格递增的正整数数列,满足收敛,且?
(1)若收敛,求证:存在严格递增的无界正实数数列满足收敛.
(2)若收敛,是否一定存在严格递增的正整数数列,满足收敛,且?
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6 . 在锐角中,为延长线上一点,过分别作,平行线,,若,,且的外接圆与交于点,证明:
(1);
(2).
(1);
(2).
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2023-12-14更新
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148次组卷
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2卷引用:2023年第39届全国中学生冬令营(CMO)数学试题
7 . 已知复数,,…,,,,…,,满足,,…,互不相同,,,…,互不相同.已知对任意正整数,均有.求证:,.
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8 . 已知函数(为常数)的图象上存在四个点,过的切线为,其中,且围成的图形是正方形.
(1)求证:;
(2)试求的取值范围.
(1)求证:;
(2)试求的取值范围.
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9 . 对任意满足的非负实数组,记为的元素个数,求证:,并给出取等的充要条件.
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2023-12-15更新
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158次组卷
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2卷引用:2023年第39届全国中学生冬令营(CMO)数学试题
解题方法
10 . 已知函数
(1)请在网格纸中画出的简图,并写出函数的单调区间(无需证明);
(2)定义函数在定义域内的,若满足,则称为函数的一阶不动点,简称不动点;若满足,则称为函数的二阶不动点,简称稳定点.
①求函数的不动点;
②求函数的稳定点.
(1)请在网格纸中画出的简图,并写出函数的单调区间(无需证明);
(2)定义函数在定义域内的,若满足,则称为函数的一阶不动点,简称不动点;若满足,则称为函数的二阶不动点,简称稳定点.
①求函数的不动点;
②求函数的稳定点.
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