1 . 如图，在中，，G为重心，P为射线上一点，满足，Q为射线上一点，满足，证明：、的外接圆的另一个交点在上．

2 . 设函数满足对于每个，均存在一个，使得，其中，是f复合m次．设是满足上述条件的k中的最小值，证明：数列无界．

3 . 设均为正数，证明：
（1）若，则；
（2）若，则.

4 . 对每个正整数n，定义为从1到n中所有与n不互质的正整数的和.求证：若且，则是合数.

5 . 如图，在中，，且为边上的高，为边上的中线，为的平分线，与分别交于两点，与交于点，令．求证：，且是最好的界（即可以无限接近于）．

6 . 如图，锐角中，为边中点，内切圆与边切一点的内切圆与边切于点，若四边形为平行四边形，求证：在的平分线上.

7 . 设，记：，其中求和是对1，2，…，n的所有个k元组合进行的，求证：．

8 . 在锐角中，D为边上一定点，P为边上一动点，直线交于点Q，交于点X．、、的三个外接圆分别交于X外的另三点、、，过、、分别作垂线、、，证明：、、均过定点．

9 . 如图，、为圆的两切线，为圆的一条割线，为切点连线，D为过C、B关于圆的切线的交点，证明：D、E、F共线．

10 . 证明：如下构造的空间曲线的任意五等分点组都不在同一球面上，曲线的构造：作周长为的圆，在圆上取使的长度，并以为轴将旋转得弧，在圆上取，使的长度的长度，并以为轴将旋转度得弧，这样，由弧组成的曲线便是空间曲线．（如图所示）