1 . 如图1，在中，点，在边上，，.
(1)求证：.

(2)如图2，用直尺和圆规在直线上取点，点（点在点的左侧），使得，且（不写作法，保留作图痕迹）；

(3)如图3，用直尺和圆规在直线上取一点，在直线上取一点，使得，且（不写作法，保留作图痕迹）.

2 . 粮食安全是“国之大者”，国家明确指出，要全方位夯实粮食安全根基，做到谷物基本自给、口粮绝对安全．小颖同学登录国家统计局网站，查询到2022年我国31个省（未包括中国香港、澳门特别行政区和台湾省）、自治区、直辖市粮食产量（万吨）的相关数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．2022年我国31个省（未包括中国香港、澳门特别行政区和台湾省）（区、市）粮食产量数据频数分布直方图．（数据分成6组：，，，，，）
b．2022年我国31个省（未包括中国香港、澳门特别行政区和台湾省）（区、市）粮食产量在这一组是1393.1　　1464.3　　1813.5　　1958.0　　2151.9　　2484.5
c．2022年我国31个省（未包括中国香港、澳门特别行政区和台湾省）（区、市）播种面积和粮食产量的平均数和中位数如下表：

	平均数	中位数
播种面积（千公顷）	3817.2	3017.5
粮食产量（万吨）	2214.6

请根据以上信息，完成下列问题：
(1)补全频数分布直方图；
(2)写出表中a的值：a＝______；
(3)已知某省2022年种植面积2829.3千公顷，在我国31个省（未包括中国香港、澳门特别行政区和台湾省）（区、市）中排第m名（从多到少排序），粮食产量1393.1万吨，在我国31个省（未包括中国香港、澳门特别行政区和台湾省）（区、市）中排第n名（从多到少排序），比较m和n的大小，并说明理由；
(4)小颖继续查询数据，从2017年到2022年，我国的粮食总产量（万吨）分别为：61790.7，65789，66384，66949，68285.1，68652.8，请根据数据描述我国近6年的粮食总产量的变化趋势．

3 . 某中学积极推进校园文学创作，倡导每名学生每学期向校报编辑部至少投1篇稿件．学期末，学校对七、八年级的学生投稿情况进行调查．
【数据的收集与整理】
分别从两个年级随机抽取相同数量的学生，统计每人在本学期投稿的篇数，制作了频数分布表．

投稿篇数（篇）	1	2	3	4	5
七年级频数（人）	7	10	15	12	6
八年级频数（人）	2	10	13	21	4

【数据的描述与分析】
(1)求扇形统计图中圆心角的度数，并补全频数直方图．

(2)根据频数分布表分别计算有关统计量：

统计量	中位数	众数	平均数	方差
七年级	3	3		1.48
八年级	m	n	3.3	1.01

直接写出表格中m、n的值，并求出．
【数据的应用与评价】
(3)从中位数、众数、平均数、方差中，任选两个统计量，对七、八年级学生的投稿情况进行比较，并做出评价．

4 . 2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开．为激励青少年争做党的事业接班人，某市团市委在党史馆组织了“红心永向党”为主题的知识竞赛，依据得分情况将获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级为一等奖，C级为二等奖，D级为优秀奖．并将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．

请根据相关信息解答下列问题：
(1)本次竞赛共有______名选手获奖，扇形统计图中扇形C的圆心角度数是______度；
(2)补全条形统计图；
(3)若该党史馆有一个入口，三个出口．请用树状图或列表法，求参赛选手小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的概率．

5 . 为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的八年级（1）班和（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表．
【收集数据】
八年级（1）班20名学生成绩：
85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95．
八年级（3）班20名学生成绩：
90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95．
【描述数据】
八年级（1）班20名学生成绩统计表

分数	80	85	90	95	100
人数	3	3	a	b	3

【分析数据】
八年级（1）班和（3）班20名学生成绩分析表

统计量班级	平均数	中位数	众数	方差
八年级（1）班			95	41.5
八年级（3）班	91	90		26.5

【应用数据】
根据以上信息，回答下列问题．
(1)请补全条形统计图：
(2)填空：______，______；
(3)你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由；
(4)从上面5名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率．

6 . 从下面两个条件中任选一个补全题干，并回答相关问题．已知在三角形中，        
条件①：
条件②：
(1)求；
(2)若该三角形是锐角三角形，求的取值范围．

7 . 已知四边形ABCD，将线段AB绕点A旋转任意角度，得到线段AE，连接BE，DE.
(1)当四边形ABCD为正方形，点E在正方形ABCD的内部时，如图①.若AE平分，，则            度，四边形ABED的面积为            ；
   
(2)当四边形ABCD为正方形，点E在正方形ABCD的外部时，且.
①在图②中依题意补全图形，并求的度数；
   
②作的平分线AF交ED于点G，交EB的延长线于点F，连接DF，请用等式表示线段BE，FA，FD之间的数量关系，并说明理由；
(3)当四边形ABCD为菱形，点E在菱形ABCD的外部时，如图③.菱形ABCD的面积为，，过点C作CM垂直EB的延长线于点M，延长MC交ED的延长线于点P，连接BP.试判断BP是否存在最大值，若存在，请求出BP的最大值；若不存在，请说明理由.
   

8 . 国际象棋是国际通行的智力竞技运动.国际象棋使用格黑白方格相间棋盘，骨牌为每格与棋盘的方格大小相同的格灰色方格.若某种黑白相间棋盘与骨牌满足以下三点：①每块骨牌覆盖棋盘的相邻两格；②棋盘上每一格都被骨牌覆盖；③没有两块骨牌覆盖同一格，则称骨牌构成了棋盘的一种完全覆盖.显然，我们能够举例说明格黑白方格相间棋盘能被骨牌完全覆盖.

(1)证明：切掉格黑白方格相间棋盘的对角两格，余下棋盘不能被骨牌完全覆盖；
(2)请你切掉格的黑白方格相间棋盘的任意两个异色方格，然后画出余下棋盘的一种骨牌完全覆盖方式，并证明：无论切掉的是哪两个异色方格，余下棋盘都能被骨牌完全覆盖；
(3)记格黑白方格相间棋盘的骨牌完全覆盖方式数为，数列的前n项和为，证明：.