1 . 某校为了促进学生的发展，开设了新媒体、人工智能、模拟联合国3门兴趣课程和设计、天文2门探索课程。现有甲、乙、丙、丁四位同学想报名参加，若每人只能从中选一门且必须选一门课程，则恰有两位同学选择天文课程的报名方法数为__________.

2 . 如图，、两点分别在、轴上滑动，，为垂足，点轨迹形成“四叶草”的图形，若，则的面积最大值为______．
   

3 . 南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为______cm.

4 . 核桃（又称胡桃、羌桃）、扁桃、腰果、榛子并称为世界著名的“四大干果”．它的种植面积很广，但因地域不一样，种植出来的核桃品质也有所不同．现已知甲、乙两地盛产核桃，甲地种植的核桃空壳率为（空壳率指坚果，谷物等的结实性指标，因花未受精，壳中完全无内容，称为空壳），乙地种植的核桃空壳率为，将两地种植出来的核桃混放在一起，已知甲地和乙地核桃数分别占总数的，从中任取一个核桃，则该核桃是空壳的概率是_____________．

5 . 我们初中分别把反比例函数图象和二次函数图象称为“双曲线”和“抛物线”，事实上，它们就是圆锥曲线中的双曲线和抛物线，只是对称轴不是坐标轴，但满足基本的定义，也有相对应的焦点、准线、离心率等.已知反比例函数解析式为，其图象所表示的双曲线的焦距为______；已知二次函数解析式为，其图象所表示的抛物线焦点坐标为______.

6 . 在解三角形时，往往要判断三角形解的情况，现有△ABC满足条件：边，角，我想让它有两解，那么边b的整数值我认为可取______（只填符合条件的一种即可）

7 . 某校高中第四届教研联盟一高二年级“同课异构”数学学科研究课在年月举行，有名数学老师参加比赛，在“老师甲和乙都不是第一个讲，老师乙不是最后一个讲”的前提下，老师丙第一个讲的概率为____________．