1 . 国庆节前，某学校计划选派部分优秀学生干部参加宣传活动，报名参加的学生需进行测试，共设4道选择题，规定必须答完所有题，且每答对一题得1分，答错得0分，至少得3分才能成为宣传员；甲、乙、丙三名同学报名参加测试，他们答对每道题的概率都为，且每个人答题相互不受影响．
(1)求甲、乙、丙三名同学恰有两名同学成为宣传员的概率；
(2)用随机变量表示三名同学能够成为宣传员的人数，求的数学期望与方差．

3 . 某自助餐厅为了鼓励消费，设置了一个抽奖箱，箱中放有8折、8.5折、9折的奖券各2张，每张奖券的形状都相同，每位顾客可以从中任取2张奖券，最终餐厅将在结账时按照2张奖券中最优惠的折扣进行结算．
(1)求一位顾客抽到的2张奖券的折扣均不相同的概率；
(2)若自助餐的原价为100元/位，记一位顾客最终结算时的价格为X，求X的分布列及数学期望．

4 . 小王早晨7：30从家出发上班，有A，B两个出行方案供其选择，他统计了最近100天分别选择A，B两个出行方案到达单位的时间，制成如下表格：

	8点前到（天数）	8点或8点后到（天数）
A方案	28	12
B方案	30	30

(1)判断并说明理由：是否有95%的把握认为在8点前到单位与方案选择有关；
(2)小王准备下周一选择A方案上班，下周二至下周五选择B方案上班，记小王下周一至下周五这五天中，8点前到单位的天数为随机变量X.若用频率估计概率，求.
附：，其中，

	0.10	0.05	0.025	0.010	0.011
	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

5 . 2024年7月26日第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎开幕，为了保证奥运赛事的顺利组织和运行，以及做好文化交流、信息咨询、观众引导等多方面的工作，每项比赛都需要若干名志愿者参加服务，每名志愿者可服务多个项目.8月7日100米跨栏、200米、400米、800米、1500米、5000米比赛在法兰西体育场举行.
(1)志愿者汤姆可以在以上6个项目中选择3个参加服务，求汤姆在选择200米服务的条件下，选择1500米服务的概率；
(2)为了调查志愿者参加服务的情况，从仅参加1个项目的志愿者中抽取了10名同学，其中6名参加5000米服务，4名参加800米服务.现从这10名同学中再选3名同学做进一步调查.将其中参加800米服务的人数记作，求随机变量的分布列和数学期望.

6 . 已知某公司某产品去年的年产量为50万件，每件产品的售价为10元，固定成本为6元，今年公司第一次投入50万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入50万元科技成本，预计年产量每年递增5万件，第次投入后，每件产品的固定成本为（为常数，），若产品的售价保持不变，第次投入后的年利润为万元.
(1)求的表达式；
(2)从今年起第几年的利润最大？最大利润为多少万元？

7 . 在一场羽毛球比赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军. 比赛采用“双败淘汰制”：首先，四人通过抽签分成两组，每组中的两人对阵，每组的胜者进入“胜区”，败者进入“败区”. 接着，“胜区”中两人对阵，胜者进入“决赛区”；“败区”中两人对阵，败者直接淘汰出局获第四名. 然后，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者进入“决赛区”，败者获第三名. 最后，“决赛区”的两人进行冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名. 已知甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p()，且不同对阵的结果相互独立.
(1)若，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；
①求甲获得第四名的概率；
②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望；
(2)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：四人通过抽签分成两组，每组中的两人对阵，每组的胜者进入“决赛区”，败者淘汰；最后，“决赛区”的两人进行冠军决赛，胜者获得冠军.   已知甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p()，则哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由.

8 . 足球比赛积分规则为：球队胜一场积分，平一场积分，负一场积分．常州龙城足球队年月将迎来主场与队和客场与队的两场比赛．根据前期比赛成绩，常州龙城队主场与队比赛：胜的概率为，平的概率为，负的概率为；客场与队比赛：胜的概率为，平的概率为，负的概率为，且两场比赛结果相互独立．
(1)求常州龙城队月主场与队比赛获得积分超过客场与队比赛获得积分的概率；
(2)用表示常州龙城队月与队和队比赛获得积分之和，求的分布列与期望．

10 . 为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是.
(1)求甲考生通过某校强基招生面试的概率；
(2)求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率；
(3)求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率.