1 . 设离散型随机变量X，Y的取值分别为，．定义X关于事件“”的条件数学期望为：．已知条件数学期望满足全期望公式：．解决如下问题：
为了研究某药物对于微生物A生存状况的影响，某实验室计划进行生物实验．在第1天上午，实验人员向培养皿中加入10个A的个体．从第1天开始，实验人员在每天下午向培养皿中加入该种药物．当加入药物时，A的每个个体立即以相等的概率随机产生1次如下的生理反应（设A的每个个体在当天的其他时刻均不发生变化，不同个体的生理反应相互独立）：
①直接死亡；②分裂为2个个体．
设第n天上午培养皿中A的个体数量为．规定，．
(1)求；
(2)求；
(3)已知，证明：随着n的增大而增大．

3 . 足球比赛积分规则为：球队胜一场积分，平一场积分，负一场积分．常州龙城足球队年月将迎来主场与队和客场与队的两场比赛．根据前期比赛成绩，常州龙城队主场与队比赛：胜的概率为，平的概率为，负的概率为；客场与队比赛：胜的概率为，平的概率为，负的概率为，且两场比赛结果相互独立．
(1)求常州龙城队月主场与队比赛获得积分超过客场与队比赛获得积分的概率；
(2)用表示常州龙城队月与队和队比赛获得积分之和，求的分布列与期望．

4 . 在学校食堂就餐成为了很多学生的就餐选择．学校为了解学生食堂就餐情况，在校内随机抽取了100名学生，其中男生和女生人数之比为，现将一周内在食堂就餐超过8次的学生认定为“喜欢食堂就餐”，不超过8次的学生认定为“不喜欢食堂就餐”．“喜欢食堂就餐”的人数比“不喜欢食堂就餐”人数多20人，“不喜欢食堂就餐”的男生只有10人．

	男生	女生	合计
喜欢食堂就餐
不喜欢食堂就餐	10
合计			100

(1)将上面的列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢食堂就餐是否与性别有关：
(2)用频率估计概率，从该校学生中随机抽取10名，记其中“喜欢食堂就餐”的人数为X．事件“”的概率为，求随机变量X的期望和方差．
参考公式：，其中．

a	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

6 . 某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分.现从中随机选出100名学生的成绩（满分为100分），按分数分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图.

   

(1)求的值，并求这100名学生成绩的中位数（保留一位小数）；
(2)若认定评分在内的学生为“运动爱好者”，评分在内的学生为“运动达人”，现采用分层抽样的方式从不低于80分的学生中随机抽取6名学生参加运动交流会，大会上需要从这6名学生中随机抽取2名学生进行经验交流发言，求抽取的2名发言者中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各1人的概率.

7 . 我国南宋著名数学家秦九韶（约1202~1261）独立发现了与海伦公式等价的由三角形三边求面积的公式，他把这种称为“三斜求积”的方法写在他的著作《数书九章》中.具体的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隅，开平方得积.”如果把以上这段文字写成公式，就是.现将一根长为20cm的木条，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为6cm，求该三角形面积的最大值.

10 . 在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：.
(1)写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润=销售收入-成本）
(2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润．